Коэффициент корреляции между X и X^2 для распр. X=N(1,1)

[mvb13]

Случайная величина $X$распределена по закону $N(1,1)$. Вычислить коэффициент корреляции между $X$ и $X^2$ .

$M[X^3]=M[X]M[X^2]+K_{X,Y}$ свойство числовых характеристик случайного вектора

$M[X]=\int^{\infty}_{-\infty}x \frac {1} {\sqrt{ 2\pi}} e^{-\frac {(x-1)^2} {2}}dx$
$M[X^2]=\int^{\infty}_{-\infty}x^2 \frac {1} {\sqrt{ 2\pi}} e^{-\frac {(x-1)^2} {2}}dx$
$M[X^3]=\int^{\infty}_{-\infty}x^3 \frac {1} {\sqrt{ 2\pi}} e^{-\frac {(x-1)^2} {2}}dx$

У меня не получается вычислить интегралы, поэтому я хотел бы узнать ,правильно ли я начал решать данную задачу . Если данные интегралы берутся, подскажите пожалуйста ,как это сделать.

[ewert]

mvb13 писал(а):

$M[X^3]=M[X]M[X^2]+K_{X,Y}$ свойство числовых характеристик случайного вектора

ну только не забывайте, что здесь "Ка" -- это пока ещё не корреляция, а всего лишь ковариация.

По поводу подсчёта моментов. Сделайте замену переменных $x-1=y$ и раскройте скобки в многочленах (чтобы использовать симметрию плотности). Теперь нечётные моменты заведомо нулевые, а чётные технически проще всего находить так. Заменяем в показателе одну вторую на $t$, дифференцируем полученный интеграл Пуассона (а он известен) подходящщее к-во раз по $t$ и вновь подставляем $t=1/2$.

[mvb13]

Первый интеграл равен 1:
$M[X]=\int^{\infty}_{-\infty}(t+1) \frac {1} {\sqrt{ 2\pi}} e^{-\frac {t^2} {2}}dt=1$
Затем из $M[X^3]$ вычитаю $M[X^2]$:
$K_{X,X^2}=\int^{\infty}_{-\infty}t^2 \frac {1} {\sqrt{ 2\pi}} e^{-\frac {t^2} {2}}dt$

Непонятно насчет замены 1/2 на t.
Почему можно выполнить такую замену?

[ewert]

$M[X]=1$ по условию задачи. $M[X^2]$ -- это, между прочим, $D[X]+m_X^2=2$. А вот $M[X^3]$ Вы вроде пока ещё и не посчитали, так что последняя формула совершенно непонятна. И не забудьте: чтобы добраться до именно корреляции, Вам понадобится ещё и $M[X^4]$.

Насчёт замены 1/2: в Ваших обозначениях её надо заменять, естественно, не на $t$, а на что-нибудь другое. Ну например:

$${1\over\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{+\infty}t^4\,e^{-\alpha t^2}dt=\left({1\over\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-\alpha t^2}dt\right)_{\alpha\alpha}^{\prime\prime}$$

,

после чего подставляем $t=1/2$.

[mvb13]

Цитата:

А вот

$$M[X^3]$$

Вы вроде пока ещё и не посчитали, так что последняя формула совершенно непонятна.

$$M[X^2]=\frac {1} {\sqrt{ 2\pi}}\left(\int^{\infty}_{-\infty}t^2 e^{-\frac {t^2} {2}}dt+2\int^{\infty}_{-\infty}t e^{-\frac {t^2} {2}}dt+\int^{\infty}_{-\infty} e^{-\frac {t^2} {2}}dt\right)=\frac {1} {\sqrt{ 2\pi}}\int^{\infty}_{-\infty}t^2 e^{-\frac {t^2} {2}}dt+1$$

$$M[X^3]=\frac {1} {\sqrt{ 2\pi}}\left(\int^{\infty}_{-\infty}t^3 e^{-\frac {t^2} {2}}dt+3\int^{\infty}_{-\infty}t^2 e^{-\frac {t^2} {2}}dt+3\int^{\infty}_{-\infty}t e^{-\frac {t^2} {2}}dt+\int^{\infty}_{-\infty}e^{-\frac {t^2} {2}}dt\right)=\frac {3} {\sqrt{ 2\pi}}\int^{\infty}_{-\infty}t^2 e^{-\frac {t^2} {2}}dt+1$$

Далее нахожу

$$K_{X,X^2}$$

:

$$\frac {2} {\sqrt{ 2\pi}}\int^{\infty}_{-\infty}t^2 e^{-\frac {t^2} {2}}dt=\frac {2} {\sqrt{ 2\pi}}\left(-\int^{\infty}_{-\infty} e^{- \alpha t^2} dt\right)_\alpha^\prime=\frac {2} {\sqrt{ 2\pi}}* \sqrt{\pi}*\frac 1 2 *\alpha^{-\frac 3 2}=$$

(после обратной подстановки )

$$=2$$

В результате

$$K_{X,X^2}=2$$

Коэффициент корреляции равен

$$\frac {K_{X,X^2}} {\sigma_X\sigma_{X^2}}$$

$$\sigma_X=\sqrt{D[X]}=\sqrt{\frac {1} {\sqrt{ 2\pi}}\int^{\infty}_{-\infty}t^2 e^{-\frac {t^2} {2}}dt}=1$$

Теперь возникли трудности с вычислением

$$D[X^2]$$

.
Как записать формулу момента для нее?

Исправил

[ewert]

mvb13 писал(а):

$$M[X^3]=\frac {1} {\sqrt{ 2\pi}}\left(\int^{\infty}_{-\infty}t^3 e^{-\frac {t^2} {2}}dt+2\int^{\infty}_{-\infty}t^2 e^{-\frac {t^2} {2}}dt+2\int^{\infty}_{-\infty}t^2 e^{-\frac {t^2} {2}}dt+\int^{\infty}_{-\infty}e^{-\frac {t^2} {2}}dt\right)=\frac {2} {\sqrt{ 2\pi}}\int^{\infty}_{-\infty}t^2 e^{-\frac {t^2} {2}}dt+1$$

Т-с-с. Чему равен куб суммы?
(и, кстати, квадрат суммы -- в предыдущей строчке, но там Вам повезло, т.к. интеграл от первой степени всё равно равен нулю)

mvb13 писал(а):

$$\frac {1} {\sqrt{ 2\pi}}\int^{\infty}_{-\infty}t^2 e^{-\frac {t^2} {2}}dt=\frac {1} {\sqrt{ 2\pi}}\left(-\int^{\infty}_{-\infty} e^{- \alpha t^2} dt\right)_\alpha^\prime=\frac {1} {\sqrt{ 2\pi}}* \sqrt{\pi}*\frac 1 2 *\alpha^{-\frac 3 2}=$$

(после обратной подстановки )

$$=1$$

Это лишнее: левая часть есть дисперсия стандартного нормального распределения, потому и равна единице.

mvb13 писал(а):

Теперь возникли трудности с вычислением

$$D[X^2]$$

.
Как записать формулу момента для нее?

Как обычно -- как матожидание квадрата минус квадрат матожидания. Вот тут и придётся считать четвёртый момент, и как раз с помощью двукратного дифференцирования по альфе. Только уж постарайтесь не путаться с биномиальными коэффициентами.

[mvb13]

Если больше ничего не забыл , то получается так :

$$M[X^4]=\frac {4} {\sqrt{ 2\pi}}\left(\int^{\infty}_{-\infty}t^4 e^{-\frac {t^2} {2}}dt+\int^{\infty}_{-\infty}t^2 e^{-\frac {t^2} {2}}dt\right)=\frac {4} {\sqrt{ 2\pi}}\int^{\infty}_{-\infty}t^4 e^{-\frac {t^2} {2}}dt+4=-4*\frac 1 2\sqrt{2}* (-\frac 3 2)*\alpha^{-\frac 5 2}+4=16 $$

$D[X^2]=16-4=12$
$\rho_{X,X^2}=\frac {2} {\sqrt{12}} = \frac {1} {\sqrt{3}}$

[ewert]

Хм. $(1+t)^4\equiv 0+\dots+4t^2+\dots+4t^4$ ?? ...