Задачка из журнала Квант

[sergey zhukov]

svv

svv в сообщении #1583439 писал(а):

он увидит лишь однородное "молоко" и никаких деталей.

Да, это на тепловизоре часто можно видеть.

мат-ламер
С объемом ясно. Не понятно, как это относится к связи поверхностной плотности мощности излучения и объемной плотности энергии излучения.

[gevaraweb]

Если в физике не понимать, то как математик могу подогнать

$R = \displaystyle\frac{1}{4}uc$ $R = \sigma T^4$, $\sigma = 5,670 \cdot 10^{-8}$ Вт/(m^2*K^4) = 5,670 \cdot 10^{-12}$ Вт/(sm^2*K^4) $\Rightarrow u = \displaystyle\frac{4\sigma T^4}{c}$ $u = \displaystyle\frac{4\sigma T^4}{c} = \frac{4\cdot 5,670 \cdot 10^{-12} \cdot ({6 \cdot 10^3)}^4}{3\cdot 10^8} \frac{BT*K^4}{sm^2*K^4 * m/c} $ $u = \displaystyle \frac{4\cdot 5,670 \cdot 10^{-12} \cdot 1296*10^{12}}{3\cdot 10^8} \frac{DJ/c}{sm^2 * m/c} $ $u = 9797,76 \cdot 10^{-8} \displaystyle \frac{DJ}{sm^2* 100sm} = \displaystyle 9,8 \cdot 10^3 \cdot 10^{-8} \frac{DJ}{sm^3 * 100} = 9,8 \cdot 10^{-7} \frac{DJ}{sm^3}$

[мат-ламер]

sergey zhukov в сообщении #1583456 писал(а):

С объемом ясно. Не понятно, как это относится к связи поверхностной плотности мощности излучения и объемной плотности энергии излучения

Ну, это вам физикам виднее. Я в физике чистый любитель. Зашёл сюда, думая, что задачу для школьников из Кванта смогу осилить. Однако ж нет. По поводу вашего вопроса думаю, что излучающая поверхность и фотонный газ вокруг неё должны находиться в некотором тепловом равновесии. А в маленьком сосуде его добиться сложнее, чем в открытом пространстве. В сосуде большинство выпущенных фотонов тут же налетят на стенку сосуда. Поэтому внутри сосуда энергия фотонного газа должна быть ровно в 4 раза больше, чем в открытом пространстве. Но я ещё подумаю над вашим вопросом. А может кто из физиков прояснит ситуацию.

-- Вс фев 26, 2023 21:16:31 --

мат-ламер в сообщении #1583462 писал(а):

Но я ещё подумаю над вашим вопросом

Я понимаю наивно ситуацию так. Если мы рассмотрим излучение какой-то точки, то интенсивность излучения будет падать с расстоянием от точки. Но если мы будем рассматривать излучающую плоскость, то хоть каждый элемент плоскости излучает как точка в разные стороны, то в сумме получается такая картина, что интенсивность излучения с расстоянием от плоскости не уменьшается. Здесь можно привести аналогию с электрическим полем заряжённой пластины. (Я извиняюсь за вульгарную аналогию, но с оптикой я вообще не знаком). Поэтому можно наше излучение заменить на другое. В этом новом излучении интенсивность его не будет падать с расстоянием. Теперь рассмотрим геометрическую аналогию, что я приводил. Из центра большого полушара выходит излучение. Это излучение в открытом полупространстве. За некий промежуток времени оно заполнит равномерно этот полушар. Маленький вписанный шар оно тоже заполнит. Но внутри этого шара останется только четверть этого излучения. Остальное поглотится стенками. Отсюда, учитывая предыдущий мой абзац, для теплового равновесия со стенками, энергия излучения в малом шаре должна быть в четыре раза больше. Ещё раз извиняюсь за моё вульгарное понимание.

[мат-ламер]

В прошлом посту у меня была какая-то интуитивная попытка подогнать под ответ свои рассуждения. Скорее всего я был не прав. Попробовал пересмотреть свои рассуждения с помощью вычислений. Допустим у нас есть сферический сосуд и каждая точка стенки его испускает случайным образом фотоны. Предположим сначала, что у нас все фотоны остаются внутри сосуда. Тогда общая плотность фотонов внутри сосуда будет в шесть раз больше, чем плотность фотонов около плоской стенки. Обосновать можно примерно так. Если мы возьмём шар единичного диаметра, то у него объём $\pi \slash 6$ , а площадь его поверхности $\pi$ . А если мы возьмём куб, то получим то же соотношение. Но нам теперь нужно учесть вероятность поглощения фотона стенками. Впишем наш шар в полушар удвоенного диаметра так, чтобы они касались стенками. Из центра полушара (а это также точка стенки малого шара) пусть испускаются фотоны в случайном направлении (но направление всё же должно идти внутрь полушара) . Тогда в среднем в произвольный момент времени количество фотонов внутри меньшего шара и вне его (но внутри полушара) должно совпадать. Если считать точно, то вероятность того, что фотон будет в малом шаре равно отношению интегралов от $\sin \phi \cos \phi$ к интегралу от $\sin \phi$ , где $\phi$ - угол отклонения пути фотона от перпендикуляра к излучаемой поверхности (изменяется от $0$ до $\pi \slash 2$) . Таким образом, общий множитель у меня пока получается не четвёрка, а тройка, как $3 = 6 \cdot 1\slash 2$ . Пока ничего не пойму.

[мат-ламер]

Пришла новая идея. Сверлим в нашем сосуде отверстие и смотрим, как он будет излучать через это отверстие. Как он должен излучать, нам известно (как чёрное тело).

Вопрос к физикам. Подскажите, где можно поподробнее почитать про абсолютно чёрное тело? Какой это вообще раздел физики?

[schoolboy]

мат-ламер
Как при интегрировании получается связь между энергетической светимостью дырки в полости и плотностью энергии в полости можно здесь посмотреть.

[zykov]

мат-ламер в сообщении #1583553 писал(а):

Подскажите, где можно поподробнее почитать про абсолютно чёрное тело?

Абсолютно чёрное тело

Цитата:

Спектральная плотность мощности излучения чёрного тела (мощность, излучаемая с поверхности единичной площади в единичном интервале частот в герцах) задаётся формулой Планка.

[мат-ламер]

schoolboy , zykov .
Спасибо! Если искать книгу, то это, наверное, начало в разделах "атомная физика" в курсах общей физики. Ситуация в общем прояснилось. Я её совсем не так представлял. Хотя бы в том плане, что с чем сравнивать. Я понял так, что интенсивность излучения, идущего вне из чёрного тела пропорциональна косинусу угла от основного направления излучения. Косинус этот возникает из-за того, что это будет длина луча продолженного назад в сосуд, отмеренного от отверстия до стенки сосуда. Интегрируя этот косинус по полусфере получаем коэффициент $1\slash 2$ . А, учитывая, что лучи идут в одно полупространство из двух, то этот коэффициент надо ещё разделить на два.

[zykov]

мат-ламер в сообщении #1583580 писал(а):

Если искать книгу, то это, наверное, начало в разделах "атомная физика" в курсах общей физики

В школьном учебнике по физике кажется было что-то про формулу Планка.

[мат-ламер]

мат-ламер в сообщении #1583580 писал(а):

Косинус этот возникает из-за того, что это будет длина луча продолженного назад в сосуд, отмеренного от отверстия до стенки сосуда.

С таким же успехом этот косинус можно обосновать как площадь стенки сосуда, видимую из далекой точки вне сосуда через маленькое отверстие. И думаю, что эти два обоснования между собой согласованы.

[sergey zhukov]

Мне эта задача напоминает такую: есть сферический баллон под внутренним давлением. Найти силу, отрывающую одну половинку полусфуры от другой. Нужно проинтегрировать проекцию сил давления для одной полусферы на направление "от второй полусферы". Но можно и не интегрировать, если мысленно вставить в баллон срединную перегородку площадью $S$. Тогда очевидно, что отрывающая сила равна $F=PS$:

[Cos(x-pi/2)]

"По-школьному", думаю, можно решить задачку вот как (вроде, похожие мысли уже были высказаны выше участниками обсуждения).

Сначала рассмотрим воображаемый изотропный газ частиц, летающих во всех направлениях с заданной постоянной величиной скорости $v.$ Плотность частиц (объёмная концентрация) пусть есть $n.$ Её размерность: штуки в единице объёма.

Будем вычислять плотность потока $J$ частиц, пролетающих через любую воображаемую площадку в этом газе с одной стороны площадки на другую; например, - только слева направо в случае площадки с горизонтально расположенным вектором нормали (картинку ленюсь рисовать, всё и так легко себе представить :) Размерность $J$ есть штуки, делённые на единицу площади и единицу времени.

Дальше можно было бы писать без векторов, но пишу с векторами, мне так привычнее; векторы обозначаю жирным шрифтом. Пусть $\mathbf{S}$ - вектор площадки; он указывает направление нормали к той её стороне, из которой вылетают интересующие нас частицы (нормаль к правой стороне в нашем примере), а величина его $|\mathbf{S}|=S$ есть площадь площадки.

Доля $\dfrac{d\Omega}{4\pi}$ от всех частиц имеет вектор скорости $\mathbf{v}$ в направлении элемента телесного угла $d\Omega.$ Движение этих частиц в любом месте газа описывается вектором плотности потока $\mathbf{j}$, представляющим собой их плотность, умноженную на вектор скорости:

$$\mathbf{j}=\mathbf{v} n \dfrac{d\Omega}{4\pi}$$

Частицы, у которых вектор скорости составляет с вектором площадки угол $\theta$, не превышающий $\pi /2,$ т.е. проекция скорости на направление нормали площадки положительна, дают вклад $dJ$ в интересующий нас поток частиц через площадку (точкой обозначил скалярное произведение векторов):

$$S\,dJ=\mathbf{S} \cdot \mathbf{j} = S\,v\,n\,\cos \theta \, \frac{d\Omega}{4\pi}$$

Элемент телесного угла:

$$d\Omega=\sin \theta \, d\theta \, d\varphi$$

Интегрирование по $\varphi$ даёт $2\pi.$ Интеграл от $\cos \theta \, \sin \theta$ по $\theta$ в пределах от 0 до $\pi /2$ равен $1/2.$ (Думаю, уж с такими-то интегралами школьник может совладать без всякого Вольфрама.) Таким образом:

$$J=\dfrac{1}{4}\,v\,n$$

(Похожая формула есть в молекулярно-кинетической теории и для классического идеального газа с максвелловским распределением скоростей; там $v$ - среднее значение скорости частиц.)

Если аналогичным образом находить, например, плотность потока массы (в одну сторону через любую площадку), то надо $n$ домножить на массу частицы $m:$ плотность числа частиц в формуле заменится на плотность массы $mn.$

По аналогии, для плотности потока энергии световых квантов (обозначенной в статье буквой $\varepsilon)$ надо вместо плотности числа частиц $n$ подставить плотность энергии $w$ и выбрать $v=c:$

$$\varepsilon=\dfrac{1}{4}\,c\,w.$$

Искомая плотность энергии есть $w=(4/c)\,\varepsilon.$

[Vicktorovna]

TiffanyBoy245 в сообщении #1583170 писал(а):

А как можно перейти от этой мощности к объемной плотности энергии?

Можно. Нужно умножить на 4 и разделить на скорость света.
Получите именно тот ответ, какой в Кванте.

[sergey zhukov]

svv в сообщении #1583439 писал(а):

Допустим, полость, в которой находится наблюдатель, имеет сложную форму: где-то выступы, где-то впадины, где-то даже перемычки. Тем не менее, куда бы ни посмотрел наблюдатель, он увидит лишь однородное "молоко" и никаких деталей.

Кстати, это только если наблюдатель находится внутри такой полости. Когда смотришь в тепловизор, бывает такой интересный эффект. Допустим, имеем металлический предмет (не самое "черное" тело) с глухим отверстием. Тогда внутренности отверстия выглядят горячее, чем поверхность предмета. На самом же деле, хотя температура внутренних стенок отверстия действительно может быть выше, чем температура поверхности предмета, даже если их температура одинакова, все равно такой эффект наблюдается. Потому, что излучение из отверстия в полости из любого материала приближается к чернотельному (не зависит от материала стенок)..

[мат-ламер]

Vicktorovna в сообщении #1583791 писал(а):

Можно. Нужно умножить на 4 и разделить на скорость света.

Почему нужно разделить на скорость света, я догадался сразу. А вот почему нужно умножить именно на 4, доходило долго. Пока непонятным остаётся вопрос, почему в качестве стандарта чёрного тела выбран именно сосуд с отверстием. Что касается распределения энергии излучения по частоте, то тут вопросов нет. Непонятки касаются распределения энергии излучения в зависимости от его направления. Получается, что точечный источник на поверхности чёрного тела излучает энергию не равномерно во все стороны, а по закону косинуса. Но я думаю, что непонятки у меня временные. Почитаю ещё теорию.