2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 a^3 + b^2 + c^2 = nabc
Сообщение24.02.2023, 11:41 


21/04/22
339
Пусть натуральное число $n$ делится на 4. Докажите, что уравнение $$ a^3 + b^2 + c^2 = nabc $$ не имеет решений в натуральных числах.

 Профиль  
                  
 
 Re: a^3 + b^2 + c^2 = nabc
Сообщение24.02.2023, 18:08 


24/12/13
351
Это гипотеза, или решенная задача?

 Профиль  
                  
 
 Re: a^3 + b^2 + c^2 = nabc
Сообщение24.02.2023, 18:53 


21/04/22
339
rightways
Решение есть. А вот в случае, когда $n$ не делится на 4, остались вопросы. Было бы интересно научиться определять при каких $n$ у рассматриваемого уравнения есть решения. Например, я не знаю есть ли решения при $n = 6$.

 Профиль  
                  
 
 Re: a^3 + b^2 + c^2 = nabc
Сообщение24.02.2023, 19:10 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
11653
mathematician123 в сообщении #1583070 писал(а):
Пусть натуральное число $n$ делится на 4. Докажите, что уравнение $$ a^3 + b^2 + c^2 = nabc $$
И что помешало просто написать $ a^3 + b^2 + c^2 = 4nabc $?

 Профиль  
                  
 
 Re: a^3 + b^2 + c^2 = nabc
Сообщение26.02.2023, 19:50 


26/08/11
2082
Если существует решение, где $b$ и $c$ имеют общий простой делитель $ p\equiv 3 \pmod 4$, то существует решение и без этого делителя:

Пусть $b=pb_1,c=pc_1 \Longrightarrow a=pa_1$

$pa_1^2+b_1^2+c_1^2=npa_1b_1c_1$

$p \mid b_1^2+c_1^2$, что ввиду обстоятельств возможно только когда $b_1=pb_2, c_1=pc_2 \cdots$. Короче, когда

$p^3 \mid b, p^3 \mid c, p^2 \mid a$. Получается уравнение

$a_3^3+b_3^2+c_3^2=(np^2)a_3b_3c_3$

Запишем уравнение в виде $b^2+c^2=a(4kbc-a^2)$ Если $a$ нечетное, то в правой части множитель $-1 \pmod 4$ и ввиду обстоятельтв равенство невозможно.

Если же $a$ четное, тогда $b,c$ тоже четные, получается аналогичный спуск по степеням двойки и нельзя избавится от множителя $-1 \pmod 4$

А без условия что $n$ делится на $4$, конечно решений есть. Много.

 Профиль  
                  
 
 Re: a^3 + b^2 + c^2 = nabc
Сообщение26.02.2023, 23:10 


21/04/22
339
Shadow в сообщении #1583466 писал(а):
А без условия что $n$ делится на $4$, конечно решений есть. Много.

Да, решений много. Но для $n = 6$ мне не удалось найти ни одного. Если решений нет, то интересно узнать причину их отсутствия. Ни прыжки Виета, ни сравнения здесь не помогают.

Поиск решения уравнения $a^3 + b^2 + c^2 = 6abc$ сводится к уравнению Пелля с параметром:
$$ x^2 - (36s^2-1)y^2 = -2s^3 $$
(Здесь $x = \frac12 (b-3ac)$, $y = \frac{c} {2}$, $s = \frac{a}{2}$)
При этом, можно доказать, что если решения существуют, то для минимального решения выполнено неравенство $5y^2 \le s^2$. То есть, при фиксированном $s$ достаточно подставить конечное количество значений $y$ и проверить, является ли $(36s^2 - 1)y^2 - 2s^3$ точным квадратом. Плюс есть дополнительные ограничения:
1) $s \equiv 1 \pmod{4}$, $y \equiv 1 \pmod{2}$
2) Иногда помогают сравнения. Например, в случае $s \equiv \pm 1 \pmod{5}$ уравнение не имеет  решений по модулю $5$
3) В разложение $s$ на простые любое простое число $p$ вида $4k+3$ входит в чётной степени. Обозначим эту степень $2h$. Тогда $p^{3h} \mid y$. Отсюда также следует, что $s$ имеет как минимум один простой делитель вида $4k+1$.

Я проверил значения $s \le 40000$ и решений не нашёл.

 Профиль  
                  
 
 Re: a^3 + b^2 + c^2 = nabc
Сообщение26.02.2023, 23:50 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/11/12
1897
Санкт-Петербург
mathematician123 в сообщении #1583497 писал(а):
$$ x^2 - (36s^2-1)y^2 = -2s^3 $$
Глубоко не вникал, но Вольфрам говорит, что $-2s^3$ — квадратичный невычет $\mod (36s^2-1)$ https://www.wolframalpha.com/input?i=solve+-2*s%5E3%3Dy%5E2+mod+%2836*s%5E2-1%29. Взгляните отсюда на ситуацию в целом.

 Профиль  
                  
 
 Re: a^3 + b^2 + c^2 = nabc
Сообщение27.02.2023, 01:21 


21/04/22
339
Andrey A в сообщении #1583500 писал(а):
Глубоко не вникал, но Вольфрам говорит, что $-2s^3$ — квадратичный невычет $\mod (36s^2-1)$

Очень странно. Вольфрам говорит, что решений нет, но пояснений никаких не даёт. Символ Якоби $\left(\frac{-2s^3}{36s^2-1} \right)$ равен единице.

-- 27.02.2023, 01:36 --

mathematician123 в сообщении #1583505 писал(а):
Символ Якоби $\left(\frac{-2s^3}{36s^2-1} \right)$ равен единице

Теперь понял. $$\left(\frac{-2s^3}{6s-1} \right) = \left(\frac{-2s^3}{6s+1} \right) = -1$$
Так что решений действительно нет.

 Профиль  
                  
 
 Re: a^3 + b^2 + c^2 = nabc
Сообщение28.02.2023, 20:18 


21/04/22
339
Уравнение $$ a^3 + b^2 + c^2 = nabc$$ при чётном $n$ может иметь решения только если $n \equiv 2 \pmod{8}$ (доказательство неразрешимости в случае $n = 6$ нетрудно распространить на случай $n \equiv 6 \pmod{8}$).

В случае $n \equiv 2 \pmod{8}$ мне удалось найти решения для всех $n < 50$. Для $n = 50$ получается уравнение
$$ x^2 - (2500s^2-1)y^2 = - 2s^3$$
При этом, $s \equiv 1 \pmod{4}$, $s \equiv 0 \pmod{3}$ или $s \equiv 1 \pmod{3}$, $y \equiv 1 \pmod{2}$, $y < \frac{s}{7}$. Для $s \le 50000$ решений нет.

 Профиль  
                  
 
 Re: a^3 + b^2 + c^2 = nabc
Сообщение28.02.2023, 22:15 


24/12/13
351
А есть нечетные $n$ , для которых ур. неразрешимо?

Кстати, для n=6 по-моему приводить к Пелля не нужно, так как
$$a^3+(b-c)^2=(6a-2)bc$$

 Профиль  
                  
 
 Re: a^3 + b^2 + c^2 = nabc
Сообщение28.02.2023, 23:20 


21/04/22
339
rightways в сообщении #1583781 писал(а):
А есть нечетные $n$ , для которых ур. неразрешимо?

Не знаю. Для $n < 20$ решения есть. Для $n = 21$ проверил $a < 15000$ и решений не нашёл. Но это не значит, что решений нет. Например, для $n = 17$ минимальное решение при $a = 8333$.

Моя программа поиска решений написана на Python и работает медленно. Если кто-нибудь напишет программу на более быстром языке, то есть шанс найти решения.

 Профиль  
                  
 
 Re: a^3 + b^2 + c^2 = nabc
Сообщение01.03.2023, 12:46 


26/08/11
2082
mathematician123 в сообщении #1583787 писал(а):
Для $n = 21$ проверил $a < 15000$ и решений не нашёл. Но это не значит, что решений нет.
Для $n=21$ минимальное решение $a = 31805, b = 1817, c = 26511$

 Профиль  
                  
 
 Re: a^3 + b^2 + c^2 = nabc
Сообщение01.03.2023, 18:51 


21/04/22
339
mathematician123 в сообщении #1583771 писал(а):
Для $s \le 50000$ решений нет.

Проверил $s \le 150000$. Решений нет. То есть, в случае $n = 50$ можно считать $a > 300000$.

 Профиль  
                  
 
 Re: a^3 + b^2 + c^2 = nabc
Сообщение03.03.2023, 14:24 


21/04/22
339
Для $n = 50$ нашёл решение $a = 428090$, $b = 15170$.

 Профиль  
                  
 
 Re: a^3 + b^2 + c^2 = nabc
Сообщение21.03.2023, 02:23 


24/12/13
351
mathematician123 в сообщении #1583505 писал(а):
Andrey A в сообщении #1583500 писал(а):
Глубоко не вникал, но Вольфрам говорит, что $-2s^3$ — квадратичный невычет $\mod (36s^2-1)$

Очень странно. Вольфрам говорит, что решений нет, но пояснений никаких не даёт. Символ Якоби $\left(\frac{-2s^3}{36s^2-1} \right)$ равен единице.

-- 27.02.2023, 01:36 --

mathematician123 в сообщении #1583505 писал(а):
Символ Якоби $\left(\frac{-2s^3}{36s^2-1} \right)$ равен единице

Теперь понял. $$\left(\frac{-2s^3}{6s-1} \right) = \left(\frac{-2s^3}{6s+1} \right) = -1$$
Так что решений действительно нет.


А как доказать? что $$\left(\frac{-2s}{6s-1}\right)=-1$$, у меня что то не получилось.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 18 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group