А без условия что
![$n$ $n$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/5/a/55a049b8f161ae7cfeb0197d75aff96782.png)
делится на
![$4$ $4$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/c/f/ecf4fe2774fd9244b4fd56f7e76dc88282.png)
, конечно решений есть. Много.
Да, решений много. Но для
![$n = 6$ $n = 6$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/7/3/f7383cf663cc3fbf0211bdc91abca2d282.png)
мне не удалось найти ни одного. Если решений нет, то интересно узнать причину их отсутствия. Ни прыжки Виета, ни сравнения здесь не помогают.
Поиск решения уравнения
![$a^3 + b^2 + c^2 = 6abc$ $a^3 + b^2 + c^2 = 6abc$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/5/1/f518dd30c6e3f6bb4bc9c4c338c7c6da82.png)
сводится к уравнению Пелля с параметром:
![$$ x^2 - (36s^2-1)y^2 = -2s^3 $$ $$ x^2 - (36s^2-1)y^2 = -2s^3 $$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/1/6/316b7431ebe6a64dc57d208a8e3b593482.png)
(Здесь
![$x = \frac12 (b-3ac)$ $x = \frac12 (b-3ac)$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/0/6/20645900cb8972d429bbc37b9f75452f82.png)
,
![$y = \frac{c} {2}$ $y = \frac{c} {2}$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/9/3/493d211c94add0d6ef4e003b9fc02bd882.png)
,
![$s = \frac{a}{2}$ $s = \frac{a}{2}$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/1/0/2103c1cd888144c769e4574f6f5d6ca782.png)
)
При этом, можно доказать, что если решения существуют, то для минимального решения выполнено неравенство
![$5y^2 \le s^2$ $5y^2 \le s^2$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/6/1/061724e27bf5a723a05aa62a8e2695b282.png)
. То есть, при фиксированном
![$s$ $s$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/f/9/6f9bad7347b91ceebebd3ad7e6f6f2d182.png)
достаточно подставить конечное количество значений
![$y$ $y$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/e/c/deceeaf6940a8c7a5a02373728002b0f82.png)
и проверить, является ли
![$(36s^2 - 1)y^2 - 2s^3$ $(36s^2 - 1)y^2 - 2s^3$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/f/6/ff60abb2abc38d8a3a62e2e3bf33dee782.png)
точным квадратом. Плюс есть дополнительные ограничения:
1)
![$s \equiv 1 \pmod{4}$ $s \equiv 1 \pmod{4}$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/1/7/a17bf12ce6be4d3e122ebe7e95f83f3e82.png)
,
![$y \equiv 1 \pmod{2}$ $y \equiv 1 \pmod{2}$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/e/9/ee972092d0f326769265fd8ece95380982.png)
2) Иногда помогают сравнения. Например, в случае
![$s \equiv \pm 1 \pmod{5}$ $s \equiv \pm 1 \pmod{5}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/6/0/f60215a3a584a22d96cfa74c1e35d55382.png)
уравнение не имеет решений по модулю
![$5$ $5$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/6/1/9612eecfec9dadf1a81d296bd247377782.png)
3) В разложение
![$s$ $s$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/f/9/6f9bad7347b91ceebebd3ad7e6f6f2d182.png)
на простые любое простое число
![$p$ $p$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/e/c/2ec6e630f199f589a2402fdf3e0289d582.png)
вида
![$4k+3$ $4k+3$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/d/5/7d55314c2be03f50a7a9541b74fa21fb82.png)
входит в чётной степени. Обозначим эту степень
![$2h$ $2h$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/6/c/06cbf31e1a090b271cc3f83f80967df282.png)
. Тогда
![$p^{3h} \mid y$ $p^{3h} \mid y$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/a/2/ca2d1cce7e3eac0288d9c47229e33ba582.png)
. Отсюда также следует, что
![$s$ $s$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/f/9/6f9bad7347b91ceebebd3ad7e6f6f2d182.png)
имеет как минимум один простой делитель вида
![$4k+1$ $4k+1$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/d/8/dd86704b1ca78ce0c8065c71dd978ad782.png)
.
Я проверил значения
![$s \le 40000$ $s \le 40000$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/6/8/1680e896712d9281ffeadd062919c5cf82.png)
и решений не нашёл.