Спектр оператора

[TelmanStud]

Доброго времени суток!
Существует ли оператор ( в гильбертовом пространстве например), что спектр его все рациональные числа (и только)?

[Red_Herring]

TelmanStud в сообщении #1570804 писал(а):

уществует ли оператор ( в гильбертовом пространстве например), что спектр его все рациональные числа (и только)?

Нет, потому что спектр является замкнутым множеством. Но легко построить оператор, чисто точечный спектр которого--все рациональные числа.

[TelmanStud]

Red_Herring
Спасибо, за реакцию.
Как я понимаю, множество иррациональных чисел не является ни открытым ни замкнутым.

Цитата:

Но легко построить оператор, чисто точечный спектр которого--все рациональные числа.

Можете явно указать его?

[ewert]

TelmanStud в сообщении #1570841 писал(а):

Цитата:

Но легко построить оператор, чисто точечный спектр которого--все рациональные числа.

Можете явно указать его?

Банально: сумма проекторов на элементы какого-либо ортогонального базиса, умноженных на эти рациональные числа.

[TelmanStud]

ewert
Это получается линейный оператор, с диагональной матрицей, где диагональные элементы все рациональные числа?
А что еще дополнительно будет тогда сидеть в спектре, кроме этих?

[ewert]

TelmanStud в сообщении #1570887 писал(а):

А что еще дополнительно будет тогда сидеть в спектре, кроме этих?

Все иррациональные числа (они будут принадлежать непрерывному спектру), ибо

Red_Herring в сообщении #1570824 писал(а):

спектр является замкнутым множеством

Но смотря, конечно, что понимать под рациональными числами. Если только вещественные, то спектр -- это вещественная ось (остальные комплексные числа будут регулярными точками). Если же рассматривать все комплексные числа с рациональными вещественными и мнимыми частями, то и спектром будет, естественно, вся комплексная плоскость.

[TelmanStud]

Red_Herring
ewert
Все спасибо Вам!

[krum]

Red_Herring в сообщении #1570824 писал(а):

Нет, потому что спектр является замкнутым множеством. Но легко построить оператор, чисто точечный спектр которого--все рациональные числа.

а вот Иосида пишет ,что достаточным условием открытости резольвентного множества является замкнутость оператора. А про то, что резольвентное множество открыто в случае любого оперватора он не пишет. Короче, ссылкой снабдите, если не затруднит.

[Slav-27]

krum в сообщении #1583369 писал(а):

А про то, что резольвентное множество открыто в случае любого оперватора он не пишет.

Как вы определяете резольвентное множество незамкнутого или тем более незамыкаемого оператора $A$ на банаховом пространстве $X$? По Иосиде это множество таких $\lambda\in\mathbb C$, что $A-\lambda$ инъективен, имеет плотный образ $R(A-\lambda)\subset X$ и коограничение на этот образ имеет непрерывный обратный $(A-\lambda)^{-1}$. Предположим, что в резольвентном множестве есть элемент $\lambda$. Рассмотрим $(A-\lambda)^{-1}$ как плотно определённый оператор на $X$, раз он непрерывный, то замыкаемый, значит, $A$ тоже замыкаемый: график $A$ -- это прообраз графика $(A-\lambda)^{-1}$ относительно гомеоморфизма $X\times X\to X\times X$, $(x,y)\mapsto(y-\lambda x, x)$. То есть если резольвентное множество непусто, то оператор замыкаем, а у замыкаемого резольвентое множество такое же, как и у замыкания.

[krum]

угу