2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Спектр оператора
Сообщение22.11.2022, 01:19 
Аватара пользователя


05/04/13
580
Доброго времени суток!
Существует ли оператор ( в гильбертовом пространстве например), что спектр его все рациональные числа (и только)?

 Профиль  
                  
 
 Re: Спектр оператора
Сообщение22.11.2022, 03:38 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
10997
Hogtown
TelmanStud в сообщении #1570804 писал(а):
уществует ли оператор ( в гильбертовом пространстве например), что спектр его все рациональные числа (и только)?
Нет, потому что спектр является замкнутым множеством. Но легко построить оператор, чисто точечный спектр которого--все рациональные числа.

 Профиль  
                  
 
 Re: Спектр оператора
Сообщение22.11.2022, 09:56 
Аватара пользователя


05/04/13
580
Red_Herring
Спасибо, за реакцию.
Как я понимаю, множество иррациональных чисел не является ни открытым ни замкнутым.
Цитата:
Но легко построить оператор, чисто точечный спектр которого--все рациональные числа.
Можете явно указать его?

 Профиль  
                  
 
 Re: Спектр оператора
Сообщение22.11.2022, 10:47 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
TelmanStud в сообщении #1570841 писал(а):
Цитата:
Но легко построить оператор, чисто точечный спектр которого--все рациональные числа.
Можете явно указать его?

Банально: сумма проекторов на элементы какого-либо ортогонального базиса, умноженных на эти рациональные числа.

 Профиль  
                  
 
 Re: Спектр оператора
Сообщение22.11.2022, 12:40 
Аватара пользователя


05/04/13
580
ewert
Это получается линейный оператор, с диагональной матрицей, где диагональные элементы все рациональные числа?
А что еще дополнительно будет тогда сидеть в спектре, кроме этих?

 Профиль  
                  
 
 Re: Спектр оператора
Сообщение22.11.2022, 13:00 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
TelmanStud в сообщении #1570887 писал(а):
А что еще дополнительно будет тогда сидеть в спектре, кроме этих?

Все иррациональные числа (они будут принадлежать непрерывному спектру), ибо

Red_Herring в сообщении #1570824 писал(а):
спектр является замкнутым множеством

Но смотря, конечно, что понимать под рациональными числами. Если только вещественные, то спектр -- это вещественная ось (остальные комплексные числа будут регулярными точками). Если же рассматривать все комплексные числа с рациональными вещественными и мнимыми частями, то и спектром будет, естественно, вся комплексная плоскость.

 Профиль  
                  
 
 Re: Спектр оператора
Сообщение22.11.2022, 13:17 
Аватара пользователя


05/04/13
580
Red_Herring
ewert
Все спасибо Вам!

 Профиль  
                  
 
 Re: Спектр оператора
Сообщение26.02.2023, 13:23 
Аватара пользователя


11/11/22
304
Red_Herring в сообщении #1570824 писал(а):
Нет, потому что спектр является замкнутым множеством. Но легко построить оператор, чисто точечный спектр которого--все рациональные числа.


а вот Иосида пишет ,что достаточным условием открытости резольвентного множества является замкнутость оператора. А про то, что резольвентное множество открыто в случае любого оперватора он не пишет. Короче, ссылкой снабдите, если не затруднит.

 Профиль  
                  
 
 Re: Спектр оператора
Сообщение26.02.2023, 19:04 
Заслуженный участник


14/10/14
1205
krum в сообщении #1583369 писал(а):
А про то, что резольвентное множество открыто в случае любого оперватора он не пишет.
Как вы определяете резольвентное множество незамкнутого или тем более незамыкаемого оператора $A$ на банаховом пространстве $X$? По Иосиде это множество таких $\lambda\in\mathbb C$, что $A-\lambda$ инъективен, имеет плотный образ $R(A-\lambda)\subset X$ и коограничение на этот образ имеет непрерывный обратный $(A-\lambda)^{-1}$. Предположим, что в резольвентном множестве есть элемент $\lambda$. Рассмотрим $(A-\lambda)^{-1}$ как плотно определённый оператор на $X$, раз он непрерывный, то замыкаемый, значит, $A$ тоже замыкаемый: график $A$ -- это прообраз графика $(A-\lambda)^{-1}$ относительно гомеоморфизма $X\times X\to X\times X$, $(x,y)\mapsto(y-\lambda x, x)$. То есть если резольвентное множество непусто, то оператор замыкаем, а у замыкаемого резольвентое множество такое же, как и у замыкания.

 Профиль  
                  
 
 Re: Спектр оператора
Сообщение26.02.2023, 22:48 
Аватара пользователя


11/11/22
304
угу

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 10 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group