Теорема Гаусса-Остроградского

[ptor00]

Добрый день. Вопрос вероятно для кого-то очевидный, но у меня вызывает трудности, так как в тензорном анализе пока разбираюсь совсем не очень.
Пусть \Pi - некоторый тензор. Запишем для него теорему Гаусса-Остроградского:

\int\limits_{V} div\Pi dV = \oint\limits_{S} \Pi \vec{n}dS.
Задача - преобразовать \int\limits_{V} \frac{\partial \Pi_{ik}}{\partial x_{k}}dV в интеграл по поверхности.
Если я правильно понимаю,

$\frac{\partial \Pi_{ik}}{\partial x_{k}} = \frac{\partial \Pi_{i1}}{\partial x_{1}} + \frac{\partial \Pi_{i2}}{\partial x_{2}} + \frac{\partial \Pi_{i3}}{\partial x_{3}}$,

то есть является i-ой компонентой дивергенции тензора.

Тогда (вроде бы) должно получаться \oint\limits_{S} \Pi_{ik}df_{i}, где df_{i} - элементарная площадь, перпендикулярная i-ой оси. Но это не так, тут должно стоять df_{k}.
Значит я что-то не так понимаю, буду благодарен за помощь.

(Это взято из Ландау, том 6, параграф 7 - тензор плотности потока импульса)

[sergey zhukov]

ptor00
У вас получается, что при интегрировании по объему немой индекс - это $k$, а при интегрировании по поверхности - это $i$.

[ptor00]

sergey zhukov
Действительно, да. Спасибо