maxal писал(а):
Из исходной системы получаем

и следовательно

и

являются корнями уравнения

дискриминант которого

обязан быть полным квадратом. Вводя рациональное

получаем, что

обязано быть квадратом рационального числа.
Мда, только вот надо доказать, что мы выйдем в область положительных решений для

.
Как альтернативу, но тоже в этом плане бесполезную, можно рассматривать следующее решение:
Последнее уравнение - это частное уравнение Пелля, которое требуется решить в рациональных числах. Решение легко находится:

где

- рационально. Отсюда находим

с дополнительным условием

, т.е. либо

либо

Далее эти уравнения можно пытаться свести к чему-нибудь симпатичному, например, положим

, получим

и т.д.