Мощность множества точек с рациональными координатами

[Kirov-80]

Всем sin x !
У кого какое мнение: множество точек плоскости, у которых обе координаты рациональные, счётно или имеет мощность с ?
Спасибо

[mihaild]

Тут нет мнений, это известный факт.
Начнём с простого: какова мощность множества целых чисел?

[gris]

такое множество может быть и конечным.

[Kirov-80]

mihaild в сообщении #1583120 писал(а):

Начнём с простого: какова мощность множества целых чисел?

Допустим, счётная.

[mihaild]

Kirov-80 в сообщении #1583124 писал(а):

Допустим, счётная.

Допустим. А доказать можете?

[Kirov-80]

mihaild в сообщении #1583125 писал(а):

Допустим. А доказать можете?

Э-э... ну, короче говоря, строим биекцию:
0 - 1
1 - 2
-1 - 3
2 - 4
-2 - 5
и так далее до логического конца.

[Aritaborian]

Kirov-80 в сообщении #1583131 писал(а):

и так далее до логического конца.

А каков он, логический конец?

[Kirov-80]

Как сказал проф. Успенский - доказательство это рассуждение, с помощью которого мы убеждаем других в своей правоте.
Поэтому логический конец - это пока все желающие не убедятся, что это построение можно продолжать настолько долго, насколько им потребуется.

[Aritaborian]

Kirov-80 в сообщении #1583137 писал(а):

пока все желающие не убедятся

И как долго? До понедельника можно управиться?

[mihaild]

Kirov-80 в сообщении #1583131 писал(а):

Э-э... ну, короче говоря, строим биекцию:

Ага, правильно.
Давайте пока забудем про ноль, и заметим, что это по сути две копии натуральных чисел (положительные и отрицательные), которые мы свели в одну. А можно ли аналогичным образом свести 10 копий?
Дальше, как представить рациональные числа в виде счетного числа копий натуральных чисел?

Kirov-80 в сообщении #1583137 писал(а):

Поэтому логический конец - это пока все желающие не убедятся, что это построение можно продолжать настолько долго, насколько им потребуется.

Аккуратнее. Ваш вопрос относится к самым началам теории множеств, до тех пор, пока такие штуки представляют для Вас сложность, стоит пытаться рассуждать как можно формальнее.

[Kirov-80]

Aritaborian в сообщении #1583138 писал(а):

И как долго? До понедельника можно управиться?

Я не могу говорить за других субъектов, сколько им понадобится времени. Попробуйте на себе и отпишитесь, как у вас получилось.

[Aritaborian]

Kirov-80, я просто намекаю ровно на то же, о чём вам говорит уважаемый mihaild: что рассуждения про какой-то «конец» не формализованы и означают непонятно что, поэтому лучше бы их избегать. Слов «строим биекцию» достаточно, и это ровно те самые слова, что требуются.

[Kirov-80]

mihaild в сообщении #1583139 писал(а):

А можно ли аналогичным образом свести 10 копий?

Ну почему нельзя, берём 10 копий и сводим их в один натуральный ряд, раздвинув каждую в 10 раз.

Цитата:

Дальше, как представить рациональные числа в виде счетного числа копий натуральных чисел?

Располагаем знаменатели по оси абсцисс, а числители по оси ординат, если это Вас устроит.

Цитата:

Аккуратнее. Ваш вопрос относится к самым началам теории множеств, до тех пор, пока такие штуки представляют для Вас сложность, стоит пытаться рассуждать как можно формальнее.

У меня нет такого пиетета к самым началам теории множеств и к математическому формализму. Это некоторые математические модели объективных свойств окружающего мира, не свободные от логических ограничений и противоречий. Поэтому если какие-то штуки представляют для меня сложность, я в первую очередь пытаюсь понять, какие именно реалии они отражают.

(Оффтоп)

Кстати, знаете, что такое математика? Область знаний, описывающая свойства предметов, не зависящие от их природы.

[Geen]

Kirov-80 в сообщении #1583143 писал(а):

У меня нет такого пиетета к самым началам теории множеств и к математическому формализму.

Никого не интересеут Ваше отношение к математическому формализму и Ваше мнение о математике.
Интересует наличие знаний, достаточных для обсуждения вопроса.

Kirov-80 в сообщении #1583143 писал(а):

Располагаем знаменатели по оси абсцисс, а числители по оси ординат, если это Вас устроит.

Ну расположили. И что дальше?

[mihaild]

Kirov-80 в сообщении #1583143 писал(а):

Располагаем знаменатели по оси абсцисс, а числители по оси ординат, если это Вас устроит.

И куда при этом попадает число $\frac{5}{8}$?

Kirov-80 в сообщении #1583143 писал(а):

Поэтому если какие-то штуки представляют для меня сложность, я в первую очередь пытаюсь понять, какие именно реалии они отражают.

Этот подход может быть даже полезен в каких-то областях, но конкретно в теории множеств он обречен на провал. Она слишком далеко от всего привычного.

Kirov-80 в сообщении #1583143 писал(а):

У меня нет такого пиетета к самым началам теории множеств и к математическому формализму.

А зря. Потому что если рассуждать неаккуратно, то можно и вещественные числа занумеровать натуральными: а что, возьмем вещественное число, присвоим ему номер 0 (кстати, в теории множеств натуральные числа удобно считать начинающимися с нуля), возьмем следующее, присвоим ему номер 1, и т.д. - т.к. натуральных чисел бесконечно, то всем номеров хватит.