Длина окружности при интегрировании по углу

[DTF]

Всем привет.
Давно уже забыл курс матана, так что уже не могу решить простейшую задачку.

Пусть есть окружность радиуса $r$ и длины $l$.
Нужно вывести формулу длины, интегрируя по углу.

Т.е. разбиваем ее на сектора, устремляем к нулю угол сектора.
Если угол сектора равен $\Delta\alpha$, то основание $\Delta l$ равнобедренного треугольника, который образован его сторонами, равно $2r\sin\frac{\Delta\alpha}{2}$.

Сумма всех этих оснований будет стремиться к длине окружности

$\Delta l = 2r\sin\frac{d\alpha}{2}$
$\sum \Delta l \to l$

А как теперь перейти к интегралам?
Вот это вроде ерунда какая-то...
$\int d l = \int 2r\sin\frac{d\alpha}{2}$

Я ведь не смогу потом вытащить дифференциал из-под синуса. Или это возможно?

[mihaild]

Замените синус линейным приближением, $\sin x \approx x$ при малых $x$.

[krum]

Вопрос может упереться в определения. Что таокое $\pi$?. Для меня, например, $2\pi$ по определению это длина единичной окружности. Т.е. это определение числа $\pi$

-- 22.02.2023, 21:05 --

DTF в сообщении #1582852 писал(а):

Нужно вывести формулу длины, интегрируя по углу.

а угол измеряется в радианах. получается тривиально

[wrest]

См ещё тут «Как с помощью интеграла доказать формулу длины окружности?»

[zykov]

DTF в сообщении #1582852 писал(а):

Т.е. разбиваем ее на сектора, устремляем к нулю угол сектора.
Если угол сектора равен $\Delta\alpha$, то основание $\Delta l$ равнобедренного треугольника, который образован его сторонами, равно $2r\sin\frac{\Delta\alpha}{2}$.

Это не интегрирование. Это периметр вписанного правильного многоугольника. Так в древности $\pi$ искали. Можно ещё через описанный, чтобы и снизу, и сверху была оценка.

DTF в сообщении #1582852 писал(а):

А как теперь перейти к интегралам?

$dl=r d\varphi$, значит $l=r \int_0^{2\pi} d\varphi=2\pi r$.

[DTF]

mihaild в сообщении #1582856 писал(а):

Замените синус линейным приближением, $\sin x \approx x$ при малых $x$.

Спасибо.

zykov в сообщении #1582870 писал(а):

Это не интегрирование. Это периметр вписанного правильного многоугольника

Естественно. Интегрирование начинается когда мы переход к пределам сделаем.

zykov в сообщении #1582870 писал(а):

$dl=r d\varphi$

А вот это неочевидно вообще-то, и должно быть доказано.
mihaild напомнил, что это можно сделать через переход к эквивалентным функциям.

В общем-то, проблема решена, всем спасибо

[krum]

DTF в сообщении #1582873 писал(а):

А вот это неочевидно вообще-то, и должно быть доказано.

это определение радианной меры угла

[zykov]

DTF в сообщении #1582873 писал(а):

А вот это неочевидно вообще-то, и должно быть доказано.

Очевидно из симметрии при повороте на любой угол.

[DTF]

krum писал(а):

это определение радианной меры угла

Хм. Да, Вы правы.

Сколько всего я забыл за годы :)

[zykov]

Если очень хочется, то можно интегрировать $2\int_{-1}^1 \sqrt{1+(f'(x))^2}\;dx$, где $f(x)=\sqrt{1-x^2}$.
Но чтобы взять этот страшненький интеграл, всё равно надо будет перейти к тригонометрии.

[ewert]

Интегралы тут абсолютно не при чём, естественно.

Весь вопрос в том, что такое вообще длина линии. А это вовсе не интеграл (хотя понятия и родственные). Это супремум ломаных, если уж говорить формально. И только потом, в конкретных случаях, это сводится к интегралам.

И да, число $\pi$ -- это $\pi$ просто по определению. И вычислять его если и имеет смысл, то разве что в качестве развлечения. Ни малейшей теоретической ценности подобные развлечения не имеют.

[mihaild]

ewert в сообщении #1582963 писал(а):

И да, число $\pi$ -- это $\pi$ просто по определению.

Так у него много определений, и их эквивалентность надо доказывать.
Ну там длина окружности и наименьший положительный нуль функции $\sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k x^{2k + 1}}{(2k + 1)!}$.

[ewert]

(Оффтоп)

mihaild в сообщении #1582969 писал(а):

Ну там длина окружности и наименьший положительный нуль функции $\sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k x^{2k + 1}}{(2k + 1)!}$.

ну это надо в мемориз