Когда-то давно я от нечего делать накатал большой (восемь страниц) текст "Математика и философия: о различии и сходстве". Приведу, пожалуй, выжимку из него.
Сходные черты философии и математикиЭто теории, оперирующие предельно абстрактными и сколь угодно разнообразными понятиями (разнообразие математических понятий хорошо известно всем, прикоснувшимся к высшей математике, только школьники думают, что математика – это про числа). Истоки этих понятий могут лежать в любой сфере человеческого опыта: от физики до литературы. И в математике, и в философии есть направления исследований, базирующиеся на разных аксиомах и поэтому в некотором смысле несовместимые.
Различия философии и математикиПервое различие в том, что математика гораздо строже в методах, с помощью которых из одних утверждений получаются другие утверждения, чем философия в целом. Однако есть или могут быть отдельные философские построения, столь же логически строгие, как и математика. Если ограничиться ими, приходится искать более тонкие различия. Они приведены ниже.
Различие в начальных (неопределяемых) понятияхВ математике вводятся только такие начальные (т.е. неопределяемые) понятия, чтобы они были интерсубъективны, т.е. «понятны без перевода». Вообще без перевода. «Точка», «натуральное число», «множество», «утверждение». Вообще, существуют определения и этих понятий, но это определения «по Гильберту», а не «по Фреге»*. Познакомиться с этими определениями можно в книгах, посвященных основаниям математики, но и у тех, кто не читал этих книг (а это большая часть изучавших математику в вузе и уж точно подавляющая часть изучавших ее в школе), не возникает разногласий по поводу того, что является, а что не является натуральным числом или точкой в геометрии. (По крайней мере, если все это – люди нашей культуры. Сложный вопрос о культурной зависимости начальных понятий мы здесь опускаем).
Не то с философией. Шпенглер предлагает использовать в качестве начальных такие понятия, как «становление» и «ставшее», «судьба», «точная чувственная фантазия». Гегель – «бытие-в-себе», «бытие-для-себя» и «бытие-для-другого». Подобные понятия, возможно, и были однозначны для тех, кто их вводил, но вот с интерсубъективностью у них возникла проблема. Очень многие ошибки и трудности в философии порождены непониманием философами друг друга, отсутствием интерсубъективной базы под терминами. Да и возможна ли она для понятий такой сложности? «Ставшее – пространственное, подчиненное причинно-следственным связям, познаваемое логически и математически; становление – временное, подчиненное судьбе, познаваемое интуитивно и чувственно» – это вам не «на рисунке 3 Вы видите точку
и прямую
». И хвала еще Шпенглеру, что он иллюстрирует свои понятия примерами – многие не делают и этого, но кто может гарантировать, что в этих примерах для каждого архивирован тот же невыразимый смысл, что и для автора? Каждый философ знакомится с трудами другого философа, продолжает их или спорит с ними в той мере, в которой он их понял. И начинается – интерпретация, переинтерпретация, «Вы меня не опровергаете, Вы меня не поняли», европейцам не понять, что такое дао, а постмодернисты говорят с ухмылкой, что вообще никому никого не понять, потому что нет понятий, а есть только слова, жонглирование словами…
Различие в подходе к определениямВ математике, создав некоторый запас начальных понятий, вводят все остальные понятия с помощью того, что в математике называется определением, а в курсе советского диамата называлось «номинальным определением». «Простая кривая – это кривая, которая не пересекает саму себя». Все. Отныне и навсегда простой кривой называется все то, что подходит под определение, и ничто другое. Не бывает неверных определений – бывают определения, которые определяют не те понятия, которые хотелось. Все свойства объекта следуют из его определения, никаких других свойств у него нет и не может быть.
В философии под «определением» обычно понимают то, что в советском диамате называлось «реальными определениями», а математики бы, скорее всего, назвали бы просто «описаниями». Пусть в нашей голове существует понятие, допустим, понятие «человек». Это понятие вполне ясное в том смысле, что не возникает разногласий по поводу того, что является, а что не является человеком. Но дать этому понятию номинальное определение сложно, что демонстрирует известный анекдот с ощипанной курицей. Мы не хотим, чтобы номинальные определения уводили нас в сторону, мы не хотим изучать ощипанных куриц, мы хотим изучать людей. Поэтому мы даем «определение», но при конфликте его с интуитивным представлением вносим в это «определение» правки. Этим же путем идет и гуманитарное знание – достаточно взглянуть на «определения» в учебниках, скажем, педагогики. Такие «определения» порой прихватывает и физика. Например, я видел в одном учебнике формулировку «удар – это кратковременное взаимодействие тел». Философия же почти всегда пытается работать с «реальными определениями». «Количество», «качество», «реальность», «закон», «знание», «красота», «человек», «благо»… Даже «модус», «субстанция», «акциденция» вначале рождаются как представления о них, а потом более или менее удачно формализуются в определениях. И скорее менее, чем более, потому что понятия эти сложны – может быть, сложны бесконечно, и вдобавок переплетены друг с другом в тех еще гордиевых узлах… которых философы не хотят разрубать упрощением.
Различие в описании опытаНекоторые, хотя и немногие, математические понятия можно получить абстрагированием из повседневного опыта. Эти понятия чрезвычайно просты. Может даже показаться, что математика берет некоторые философские понятия и сужает их до тех пор, пока они не станут интерсубъективно ясны. Проще. Еще проще. Не будем о категории количества. Поговорим о числе. Какие бывают числа? А если взять, да и поставить одно число в соответствие другому? Ну, назовем это функцией. А какие бывают функции? Некоторые математические понятия были абстрагированы из опыта физических исследований – ну а все остальные строились на основе уже существующих математических понятий (их модификации, обобщения и т.д.). Объекты, которые изучаются математикой, со стороны кажутся очень специфичными, и не вдруг придумаешь, к чему бы в повседневном или хотя бы в естественнонаучном опыте их применить [тем не менее, история богата примерами, как самые «оторванные от жизни» области математики вдруг находили себе применения. Так, теория чисел понадобилась в криптографии, а теория узлов – в изучении ДНК.]. Зато сделанные о них выводы (теоремы) неоспоримы, это в некотором смысле «абсолютная истина». Не может быть двух мнений по поводу того, что доказано.
Философия почти все свои понятия выводит из повседневного опыта. Насладимся еще раз приведенным списком: «количество», «качество», «реальность», «закон», «знание», «красота», «человек»… При этом она отвергает упрощения. Философия пытается осмыслить мир сразу во всей его глубине и сложности. Построение «сферических коней в вакууме» ее не привлекает. Поэтому и бьется она двадцать восемь веков над одними и теми же вопросами, ни один не решив до конца.
РезюмеВот метод математики. Введем интерсубъективно ясные начальные понятия. Если мы не можем в какой-то области ввести такие понятия, мы не будем исследовать эту область. Поэтому, например, существует математический аппарат для экономики, но не для этики: «прибыль» и «убыток» – интерсубъективно ясные понятия, а «добро» и «зло» – нет.
На основе начальных понятий введем новые с помощью номинальных определений. Только номинальных определений. Не важно, видим ли мы этому понятию какое-то соответствие в нематематическом опыте человечества. Мы изучим область, которая при взгляде со стороны кажется узкой и очень специфичной, «оторванной от реальности». Зато каждая доказанная теорема, если только в доказательстве нет логических ошибок, окончательна и обжалованию не подлежит. С ней придется согласиться каждому логично мыслящему человеку.
Вот метод философии. Будем исследовать ту область, которая нам представляется важной, независимо от того, насколько она сложна. Введем понятия, отражающие эту область. Если они не понятны «без перевода», попытаемся объяснить так доступно, как сможем. «Становление», «ставшее», «бытие-в» и «бытие-для». Риск, что нас не поймут – неизбежное зло. Будем давать «реальные определения» – понятия должны отражать предмет исследования. Последующие споры из-за определений полезны, ибо способствуют более глубокому пониманию предмета. Мы обсудим все вопросы, которые хотим, но вряд ли сделаем хоть какие-то логически неоспоримые выводы.
*
(Фреге и Гильберт)
Как известно всем, кто изучал в школе геометрию, оперирование понятием, у которого нет определения - вполне легитимное и уважаемое дело. Так, в "школьной" геометрии не вводится определений для точки и прямой. По простой причине: всякие понятия определяются через другие понятия. Как только мы добираемся да самых общих понятий, оказывается, что нам не через что их определить.
Гильберт ввел примерно такое определение: "возьмем два множества, одно из них
назовем множеством точек, другое множеством прямых. Возьмем отношение
между прямыми и точками. Если
, где
- точка,
- прямая, то скажем, что точка лежит на прямой, а прямая проходит через точку. Это отношение подчинено следующим требованиям: ...[перечисляются аксиомы евклидовой геометрии]. Введенные так объекты назовем точками и прямыми на евклидовой плоскости". Фреге возразил, что из этого определения непонятно, являются ли его (Фреге) карманные часы точкой или нет. На что Гильберт ответил, что сила его подхода в том и состоит, что если заменить "точки и прямые" на "столы и пивные кружки", ничего не изменится. Определение Гильберта похоже на определение шахматной фигуры: шахматного короля можно определить только через отношения, в которых он состоит с доской и другими фигурами. И бессмысленно спрашивать, является ли шахматным королем пивная пробка. Если поставить ее на доску и играть, как королем, она будет королем.
[Дурацкая попытка формализации]Если представить себе множество всех объектов, о которых мы рассуждаем (в советском диамате это называлось "универсум рассуждения"), то определение в смысле Фреге будет, пожалуй, одноместным предикатом: всякий объект либо является точкой, либо нет. Определение в смысле Гильберта будет как минимум трехместным предикатом: бессмысленно спрашивать, является ли объект точкой, если не задано, что мы считаем прямой и что отношением "лежать на/проходить через". А вот для упорядоченной тройки объектов (не уверен, что это именно тройка, т.к. не помню, юзал ли Гильберт какие-то еще понятия, кроме этих трех, но не суть) такой вопрос уже осмыслен. Можно спросить, например, получится ли евклидова геометрия, если точкой считать человека, прямой - дом, а отношением "лежать на" - прописку. И ответить - нет, не получится. Но просто спросить, является ли человек точкой, нельзя.[/Дурацкая попытка формализации]
За этими двумя подходами к определениям стоят, как мне кажется, глубокие убеждения. За подходом Фреге ("для любого
из определения точки должно быть ясно или хоть в принципе выясняемо, является ли
точкой") стоит идея, что есть некое "на самом деле", "природа вещей" и так далее. И объект "на самом деле" "по своей природе" либо является точкой, либо нет. За подходом Гильберта стоит идея, что
весь мир - театр, а ты в нем жрешь в буфете все - игра типа шахматной, и все что угодно станет шахматным королем, если подобрать для него свиту и доску.
Специалисты по основаниям математики работают с подходом Гильберта. "Множество - это объект, подчиняющийся аксиомам..." "Натуральное число - это объект, подчиняющийся аксиомам..." Для всех остальных не существует ни определения множества, ни определения натурального числа, ни определений прямых и точек. И это совершенно не мешает им изучать математику. Потому что не важно, имеет ли объект определение, если он настолько интуитивно ясен, что ни у кого не возникает разногласий, что им является, а что нет. Проблема лишь в том, что таких интуитивно ясных понятий, как "множество", "точка" и "натуральное число" большой дефицит. И, собственно, их все уже заюзала математика. Математику, если хотите, можно и определить как науку, которая оставляет без определений
только такие понятия.
.
) Если так, то да - Вы многое охватите.
, но и в любой категории; или не в категории, 
, а не 
и так далее). Если использовать известные мне примеры (а известно мне довольно мало), то это примерно в духе "категория лучше множества", "эквивалентность категорий лучше их изоморфизма", "моноидальная категория лучше строгой моноидальной категории" и так далее. Разумеется, слово "лучше" следует понимать не в строго-утилитарном смысле, а как-то между строк.
