Суммируемая функция

[krum]

Через $C_0(\mathbb{R})$ обозначим пространство непрерывных функций $\psi$ таких, что $\lim_{x\to\pm\infty}\psi(x)=0$.
Пусть $f\in L^1_{\mathrm{loc}}(\mathbb{R})$. Доказать, что если предел

$$\lim_{n\to\infty}\int_{[-n,n]}f\psi dx$$

существует для любой $\psi\in C_0(\mathbb{R})$, то $f\in L^1(\mathbb{R})$.

[Padawan]

Для удобства рассмотрим случай, когда функция задана на $[0, +\infty) $. Случай всей прямой к нему сводится.
Пусть $\int_0^{+\infty}|f(x)| dx=+\infty$. Тогда $\varphi(x) =\frac{1}{1+F(x) }$, где $F(x) =\int_0^x|f(t) |dt$ непрерывна, стремится к нулю при $x\to +\infty$ и $\int_0^{+\infty} f(x) \operatorname{sign} f(x) \varphi(x) dx= +\infty$(интеграл берётся) . Ну и приблизим функцию $\operatorname{sign} f(x) \varphi(x) $ непрерывной $\psi(x) $.

[krum]

Лихо!. Там с последним пунктом несколько повозиться придется. Мое решение годится и в $\mathbb{R}^m$.

-- 18.02.2023, 11:09 --

в смысле $C_0(\mathbb{R}^m)$ состоит из непрерывных функций $\psi$ таких, что

$$\forall\varepsilon>0\quad \exists\delta>0:\qquad |x|>\delta\Longrightarrow |\psi(x)|<\varepsilon;$$

и существует предел

$$\lim_{n\to\infty}\int_{|x|<n}f\psi dx$$