Моноидальные категории

[EminentVictorians]

Рассмотрим монаду в некоторой категории. Стандартно она определяется довольно душно с использованием каких-то коммутативных диаграмм, непонятно откуда появившихся. Несмотря на это, у нее есть очень понятное инвариантное определение: монада в категории $X$ - это просто моноид в категории $X^X$ ее эндофункторов. Можно совершенно аналогично посмотреть теперь на сами моноиды и моноидальные категории. Стандартно моноидальные категории определяются как упорядоченный набор из категории, бифунктора, единицы и трех естественных преобразований, так что бифунктор ассоциативен с точностью до естественного изоморфизма и единица является единицей с точностью до естественных изоморфизмов. Более того, в этом определении требуется коммутативность еще пары диаграмм, в частности определенной пятиугольной диаграммы. Эта пятиугольная диаграмма ни разу не выглядит каким-то естественным объектом (точная аналогия с диаграммами из определения монады).

Скорее всего, стандартное определение строится так, чтобы работала теорема о когерентности (по крайней мере мне пока кажется, что именно она является там ключевым результатом). Я бы хотел узнать, можно ли как-то красиво и инвариантно определить моноидальные категории без привлечения диаграмм, в частности пятиугольной диаграммы. Чтобы звучало так же инвариантно, как с монадой.

[Утундрий]

EminentVictorians
Кто же Вас так изуродовал?

[EminentVictorians]

Еще одна аналогия. В википедии в статье Замкнутая моноидальная категория приводится 2 эквивалентных определения замкнутой (справа) моноидальной категории. Для сравнения:

Википедия писал(а):

Эквивалентным образом, замкнутая моноидальная категория C - это категория, снабженная для любых двух объектов $A$ и $B$
объектом $A \Rightarrow B$
и морфизмом $eval_{A, B}:(A \Rightarrow B) \otimes A \to B$
удовлетворяющих следующему универсальному свойству: для любого морфизма
$f: X \otimes A \to B$
существует единственный морфизм
$h: X \to A \Rightarrow B$
такой что
$f = eval_{A, B} \circ (h \otimes id_A)$

А по сути, можно сказать, что симметричная моноидальная категория называется замкнутой (справа), если для любого ее элемента $B$ функтор, задаваемый тензорным произведением на $B$ справа имеет правый сопряженный. (для бизамкнутости нужно еще, чтобы функтор умножения на $B$ слева имел левый сопряженный) И все.

Но даже цитату можно при желании понять гораздо более прозрачным образом. В ней написано, что $eval_{A, B}:(A \Rightarrow B) \otimes A \to B$ является всего лишь коединицей элемента $B$ при сопряжении из абзаца выше. И то, что коединица является универсальной стрелкой из функтора $(- \otimes A): C \to C$ - просто и понятно. И не надо расписывать эту невнятную универсальность в непосредственной форме. Ну и еще одно упрощение: эквивалентность этих определений тривиально следует из того, что сопряжение можно полностью задать с помощью единицы или коединицы (в данном случае коединицы) [при заданной паре функторов, разумеется]: универсальность из цитаты будет в точности необходимым и достаточным условием, при котором эта универсальность станет коединицей.

Очевидно, что инвариантное определение (т.е. через сопряженные функторы) + мой комментарий в абзаце выше - гораздо более правильное, простое и понятное определение, чем определение в явных терминах из цитаты.

В реальности, здесь есть гораздо более широкий предмет для разговора. Мне кажется, здесь вскрывается момент, базовый для всей математики целиком: надо стараться не копаться в мясе, а использовать, где только можно, "глобальные" инвариантные конструкции - они все упростят!

(Оффтоп)

Собственно, я поэтому и изучаю теорию категорий перед матанализом, но это ладно.

[EminentVictorians]

Возникла гипотеза. А нельзя ли рассматривать моноидальную категрию как категорификацию обычного моноида? Вообще, хотелось бы обсудить, что значит категорификация в строгом смысле.

[EminentVictorians]

EminentVictorians в сообщении #1582032 писал(а):

А нельзя ли рассматривать моноидальную категрию как категорификацию обычного моноида?

Похоже я здесь все же ерунду написал. Категорификацией моноида естественно называть "моноид в некоторой моноидальной категории $C$" (как элемент $m$ этой категории и пара стрелок $m \otimes m \to m$ и $1 \to m$, которые делают коммутативными 2 известно какие диаграммы). Ну ладно, зато хоть теперь я более менее свыкся с определением моноида в категории.

Вопрос инвариантного определения моноидальной категории остается открытым.