Concerning twin primes and distances between pairs

[gris]

Занесло меня в область 1e21, а там вдруг кортеж из 19 последовательных простяшек:
7078173382118890602619: [0, 4, 34, 40, 52, 70, 78, 84, 112, 118, 132, 148, 150, 190, 222, 232, 234, 250, 252] паттерн
(4 - 30 - 6 - 12 - 18 - 8 - 6 - 28 - 6 - 14 - 16 - 2 - 40 - 32 - 10 - 2 - 16 - 2) попарные расстояния
Больше кортежей ровно такой длины в округе нет. Интересно, что в нём целых три пары близнецов. Мне всегда казалось, что такие пары встречаются неблизко на далёких расстояниях.
Решил задействовать PARI/GP.
Долго выбирал, что использовать в качестве представителя пары близнецов: lesser, greater or average? А не всё ли равно. Вот начало:
[3, 5, 11, 17, 29, 41, 59, 71, 101, 107, 137, 149, 179, 191, 197, 227, 239, 269, 281, 311]
Последовательность A001359.
Посмотрим на расстояния между соседними парами (между их серединками):
[2, 6, 6, 12, 12, 18, 12, 30, 6, 30, 12, 30, 12, 6, 30, 12, 30, 12, 30]
Тоже есть последовательность A053319.
Но меня интересуют компактные скопления. Рассмотрим расстояние между парой и парой через одну:
[8, 12, 18, 24, 30, 30, 42, 36, 36, 42, 42, 42, 18, 36, 42, 42, 42, 42]
Нет такой в Энциклопедии А если через две пары?
[14, 24, 30, 42, 42, 60, 48, 66, 48, 72, 54, 48, 48, 48, 72, 54, 72]
И её нет... Впервые не вижу довольно естественной последовательности. Ну да ладно.
Вот что интересно: если взять начало 1e16, то там дистанции огромного размера между парой близняшек и парой через одну. Тысячи! Но знакомое 102 увидел
Всё-таки парочки в кучки сбиваются.

[Dmitriy40]

gris в сообщении #1581200 писал(а):

Больше кортежей ровно такой длины в округе нет.

Что подразумевается под длиной кортежа? 19 или 252? Логично было бы 19, но такие кортежи разумеется есть везде. Тут даже не все близнецы идут подряд.

gris в сообщении #1581200 писал(а):

Интересно, что в нём целых три пары близнецов. Мне всегда казалось, что такие пары встречаются неблизко на далёких расстояниях.

Ну три, и что? В рамках поиска магических квадратов были найдены кортежи и с 4-мя парами близнецов, причём там на них ещё и дополнительные ограничения накладывались (суммы чисел симметричны и нет других простых между близнецами). Рекомендую прокрутить страницу форума к началу, там ещё много похожих паттернов (и ссылка в OEIS).
Или вот ещё такой: 5357334220319: [0, 2, 30, 32, 42, 44, 72, 74, 120, 174, 180, 182, 188, 210, 212, 222, 224, 252, 254], кстати рекомендую глянуть и предыдущие 4 моих сообщения там, до нахождения паттерна 1960984050584219159: [0, 2, 30, 32, 42, 44, 48, 50, 72, 74, 78, 80, 90, 92, 120, 122].
Были с 7-ю близнецами: 17479880399: [0, 2, 18, 20, 48, 50, 60, 62, 78, 80, 90, 92, 120, 122].
Были найдены даже паттерны с 11-ю и 12-ю близнецами.

Так чем же так выделен/интересен Ваш паттерн длиной 19 диаметром 252?
Известен например максимально компактный паттерн с 5-ю близнецами [0, 6, 10, 16, 18, 22, 28, 30, 36, 42, 46, 48, 52, 58, 60, 66, 70, 72, 76] с найденными решениями:
630134041802574490482213901 + d, d = 0, 6, 10, 16, 18, 22, 28, 30, 36, 42, 46, 48, 52, 58, 60, 66, 70, 72, 76 (27 digits, 9 Feb 2011, Raanan Chermoni & Jaroslaw Wroblewski)
656632460108426841186109951 + d, d = 0, 6, 10, 16, 18, 22, 28, 30, 36, 42, 46, 48, 52, 58, 60, 66, 70, 72, 76 (27 digits, 19 Feb 2011, Raanan Chermoni & Jaroslaw Wroblewski)

Или вопрос вообще не в паттерне и он использован только для затравки вопроса о кучковании близнецов? Тогда что именно за вопрос? Ведь минимальное расстояние между парами близнецов известно (4 между простыми и соответственно 6 между центрами), через пару тоже (18 между центрами, паттерны [0, 2, 6, 8, 18, 20] и [0, 2, 12, 14, 18, 20]), и через две пары тоже, да хоть через сколько пар (вероятно не все такие паттерны найдены, но для не слишком длинных паттернов это недолго). Максимальное же расстояние может быть понятно любым сколь угодно большим.

[gris]

Dmitriy40, спасибо за обстоятельное обсуждение. Дело было вчера поздно вечером, и я слегка растерялся в незнакомой области. Я, конечно, знаю про пары близнецов, но не думал, что на далёких расстояниях (ну хотя бы 1е18) они могут так кучковаться.
Дело в том, что этот кортеж я нашёл сходу и случайно. Меня интересовало распределение диаметров (конечно, диаметров, а не длин ) симметричных кортежей из последовательных простых. Ну вы эти вещи знаете гораздо глубже, а я просто любитель. Диаметр 252 минимален для симметричного кортежа длиной 19 CP. Я решил посмотреть, какие диаметры обычны для кортежей из 19 последовательных простых, даже без требования симметричности. В диапазонах порядка е21 и больше. Случайно повыбирав несколько диапазонов по 10 млрд, я нашёл всего один кортеж, что я и подозревал. Но в нём было целых три пары близнецов.
Я начирикал программку и полез в Энциклопедию. Ну я уже написал, что удивился тому, что последовательностей расстояний между парами через одну нет. Аналогичные расстояния между простыми приведены и через шесть и больше (19 тоже нет). Это второе изумление.
Сегодня на свежий комп я провёл несколько опытов и убедился, что с парами близнецов всё хорошо. Каких-то рекордных примеров я не обнаружил и не искал настойчиво, а несколько любопытных образцов собрал.
Кроме того попробовал делать это дело через достаточно большой (ли?) предварительно подготовленный вектор.

***** pairs of the twin primes and distances between them
{n=5;           \\ number of pairs in a tuple
dmax=250;   \\ max distance between first and last pair
pf=4356e11;  \\ search range: from
pu=1e28;       \\ to

N=10000; k=0; \\ forming a service array of lesser twins
tp=vector(N);
forprime( p=pf,pu, 
  if(  isprime(p+2), k++; tp[k]=p; if( k==N, break)  );
); 

for( i=1, N-n,     \\ search and show the good tuple
   if(tp[i+n-1]-tp[i]<=dmax, 
     print1( tp[i],": [ " );  \\ as the first element and the pattern
     for (j=0,n-1, dj=tp[i+j]-tp[i];
       print1( dj," ", dj+2,"  " )
     ); print("]");   \\ does not have to be a tuple of conseq primes!
   );
);
} 

Некоторые листики в гербарий

1157699: [ 0 2 12 14 48 50 72 74 132 134 138 140 ]
1510307: [ 0 2 12 14 30 32 54 56 84 86 120 122 ]
2596577: [ 0 2 42 44 60 62 84 86 90 92 102 104 ]
435600004283891: [ 0 2 108 110 150 152 210 212 228 230 ]
435600004369427: [ 0 2 72 74 144 146 174 176 204 206 ]
435600004684307: [ 0 2 180 182 192 194 222 224 234 236 ]
435600005666951: [ 0 2 66 68 108 110 180 182 228 230 ]

Буду благодарен замечаниям и советам по программке. Не могу удержаться от использования N. Хотя бы чтобы помнить .

[Dmitriy40]

gris в сообщении #1581290 писал(а):

Диаметр 252 минимален для симметричного кортежа длиной 19 CP.

Только в этом паттерне/кортеже нет ни одного простого близнеца.

Насчёт диаметров кортежей длиной 19 не скажу, а вот длиной 16 мы когда-то интересовались, посмотрите (и рядом пару страниц, есть и про близнецы).

По программе сказать особо нечего, кроме замены isprime на ispseudoprime, вторая быстрее на больших числах (больше $2^{64}$ для x64 PARI). Конечно вызов её в цикле излишен, но оптимизация не приводит к ускорению, вот такой PARI аномальный.

Если же программа не поиграться, а что-то реально посчитать, то лучше воспользоваться каким-то внешним более быстрым генератором простых близнецов (например primesieve с ключом -p2 и разобрать её текстовый выхлоп, правда общую скорость проверять не стал). Да и отфильтровать кортежи по диаметру можно самописной внешней утилитой ...

-- 13.02.2023, 01:41 --

Кстати некоторые результаты выложены у меня в облаке, файл Twins.0-2e15.zip.

[gris]

Dmitriy40 в сообщении #1581349 писал(а):

Только в этом паттерне/кортеже нет ни одного простого близнеца.

Ну да, там же попарные расстояния кратны шести
Но я смотрел 19-кортежи диаметром 252 без требования симметричности. Оказалось, что в первом же найденном было при пары близнецов. От изумления я и начал смотреть на плотность пар.
На самом деле интересовало немножко другое. Предположим, что на некотором интервале ищутся кортежи по определённому паттерну из просто простых. Какова вероятность (хотя это несколько некорректно, но допустим речь идёт о доле именно на этом интервале) того, что в очередном найденном кортеже простые окажутся кроме того и строго последовательными?
Оказалось, что маленькая.
И тут другое предположение: Предположим я ищу эти кортежи из последовательных простых с помощью простенького алгоритма типа

 if(    ispseudoprime  (bpt) &&
         nextprime(bpt+  1) == (bpt+ 6) &&
                  ...
         nextprime(bpt+247) == (bpt+252) 
      , print(bpt);

А потом в целях ускорения вставляю предварительную проверку

 if(      ispseudoprime  (bpt) &&
         ispseudoprime  (bpt+ 6) &&  
         ...
         ispseudoprime  (bpt+252) && 

         nextprime(bpt+  1) == (bpt+   6) &&
         ...
      , print(bpt);

Оказалось, что на 32-битной версии получается ускорение в два раза, а на 64-битной — в один раз.
Подтвержу, что это исключительно баловство и конечный результат не интересует, но сам процесс...

[Dmitriy40]

gris в сообщении #1581991 писал(а):

Предположим, что на некотором интервале ищутся кортежи по определённому паттерну из просто простых. Какова вероятность (хотя это несколько некорректно, но допустим речь идёт о доле именно на этом интервале) того, что в очередном найденном кортеже простые окажутся кроме того и строго последовательными?
Оказалось, что маленькая.

Чем дальше диаметр паттерна от минимально возможного (а для длины 19 он 76), тем меньше вероятность. Но для минимального диаметра (и следующих разрешённых по модулям, до 80, это уже паттерн длиной 20) она ровно $1$ (нет более длинных паттернов с тем же диаметром). Так что нельзя говорить что она просто маленькая, она маленькая для диаметра 252.

gris в сообщении #1581991 писал(а):

Оказалось, что на 32-битной версии получается ускорение в два раза, а на 64-битной — в один раз.

На каких числах (примерная величина)? Если меньше $2^{64}$, то объяснимо, хотя и странно.
Кстати помнится кто-то (и как бы даже не Вы сами) не так уж давно проверял все ли числа в паттерне (не помню в каком) одинаково вероятно простые и оказалось что нет, не все (помню даже такую квадратную табличку в экселе с числами типа 33000-68000), разница была раза в два или три, так что порядок проверки на простоту тоже может давать двух-трёхкратное ускорение, это неоднократно наблюдал и сам. Правда вопрос в любом ли диапазоне или эти вероятности меняются от диапазона и в среднем остаются равными.

Ещё, проверить кортеж на 19 простых можно другим способом, не знаю будет ли быстрее, но точно короче/удобнее: if(#(pr=primes([bpt,bpt+252]))==19, и далее действия если в этот интервал влезло ровно 19 простых.
Я для пробы запускал вот такую простую программку:
setrand(getwalltime()); while(1, x=nextprime(random(10^22)); if(!ispseudoprime(x+252), next); p=primes([x,x+252]); if(#p>=18, print(x,": ",p-vector(#p,i,x),", len=",#p)))
Вот что она находит буквально за несколько минут если убрать убрать setrand и перезапустить PARI (чтобы random выдавал случайные числа с начала):
7176500001746175660587: [0, 2, 14, 26, 54, 56, 80, 84, 132, 144, 170, 174, 186, 200, 210, 222, 242, 252], len=18
839663805627023139281: [0, 36, 56, 78, 96, 116, 120, 122, 158, 162, 168, 180, 198, 210, 228, 242, 246, 252], len=18
8850690690994070720611: [0, 6, 12, 18, 28, 36, 42, 52, 60, 112, 118, 150, 162, 186, 190, 196, 222, 252], len=18
1273385466926817165599: [0, 2, 18, 44, 84, 98, 104, 108, 110, 122, 140, 152, 170, 210, 222, 240, 248, 252], len=18
951414135191911502401: [0, 6, 16, 28, 58, 72, 78, 90, 108, 120, 156, 160, 162, 166, 190, 198, 210, 250, 252], len=19
5967900227694961025947: [0, 12, 16, 64, 96, 100, 126, 142, 144, 156, 166, 184, 190, 196, 204, 210, 222, 252], len=18
8520129502766569440821: [0, 18, 26, 32, 68, 98, 110, 122, 158, 168, 180, 182, 186, 200, 210, 242, 248, 252], len=18
А эти нашёл за несколько минут уже с setrand и пределом $10^{23}$:
57484528757347888035079: [0, 10, 18, 22, 48, 52, 58, 60, 78, 94, 102, 120, 148, 160, 168, 204, 220, 238, 252], len=19
97880988687260639051827: [0, 4, 52, 70, 96, 114, 126, 132, 154, 172, 174, 184, 192, 210, 214, 216, 226, 240, 252], len=19
43193050465398538004017: [0, 12, 16, 40, 42, 46, 72, 82, 84, 132, 154, 160, 172, 174, 186, 202, 210, 246, 252], len=19
И с пределом $10^{20}$:
80680983185978346719: [0, 8, 18, 38, 42, 44, 48, 72, 80, 84, 98, 114, 132, 144, 158, 182, 240, 248, 252], len=19
84533634999426000667: [0, 4, 6, 10, 42, 54, 60, 66, 90, 112, 136, 156, 192, 214, 220, 222, 226, 244, 252], len=19
Поставив предел ещё меньше ($10^{18}$) девятнашки и не только начинаются сыпаться каждые несколько секунд:
283311309698690887: [0, 6, 12, 22, 40, 42, 76, 96, 102, 126, 136, 144, 162, 180, 196, 204, 210, 250, 252], len=19
531899786198031619: [0, 18, 54, 58, 84, 88, 130, 132, 142, 144, 168, 208, 210, 222, 232, 240, 244, 250, 252], len=19
717472567021952531: [0, 12, 18, 26, 30, 38, 66, 110, 122, 128, 158, 168, 180, 188, 210, 216, 236, 248, 252], len=19
102173220136265419: [0, 10, 12, 40, 78, 82, 88, 100, 108, 114, 120, 124, 142, 150, 180, 234, 238, 240, 252], len=19
921112940912402417: [0, 32, 36, 50, 54, 56, 60, 84, 90, 116, 134, 174, 186, 194, 222, 230, 240, 242, 246, 252], len=20
832873447622304757: [0, 4, 6, 22, 30, 54, 60, 70, 76, 82, 96, 114, 160, 166, 186, 190, 196, 216, 246, 252], len=20
62658514456039057: [0, 6, 12, 30, 34, 84, 90, 106, 124, 142, 154, 160, 190, 204, 210, 222, 234, 240, 244, 252], len=20
683400754887881057: [0, 26, 30, 32, 44, 54, 56, 122, 132, 144, 150, 164, 170, 180, 192, 200, 212, 216, 240, 252], len=20
28169489958533047: [0, 4, 10, 12, 22, 24, 34, 36, 40, 60, 90, 106, 120, 172, 190, 202, 204, 232, 244, 252], len=20
401970815909916247: [0, 10, 16, 22, 30, 60, 64, 82, 96, 100, 106, 114, 124, 166, 180, 184, 220, 222, 234, 252], len=20
512272261661372041: [0, 30, 40, 46, 76, 78, 88, 90, 100, 118, 120, 156, 166, 168, 180, 196, 232, 240, 246, 252], len=20
895048499258721901: [0, 18, 42, 52, 60, 70, 88, 90, 120, 130, 132, 136, 150, 162, 168, 190, 196, 228, 240, 252], len=20
872076830577542831: [0, 42, 50, 62, 68, 72, 90, 98, 126, 150, 152, 156, 170, 180, 182, 206, 216, 222, 230, 252], len=20
596065496263855087: [0, 12, 40, 42, 54, 60, 84, 96, 126, 130, 144, 166, 172, 184, 192, 196, 210, 220, 226, 250, 252], len=21
573100692195101261: [0, 8, 42, 48, 78, 86, 92, 116, 120, 126, 132, 146, 162, 182, 192, 206, 240, 242, 246, 252], len=20
767713238297005909: [0, 30, 34, 54, 58, 88, 108, 112, 138, 150, 154, 168, 178, 192, 214, 238, 240, 244, 250, 252], len=20
С пределом в $10^{15}$ буквально каждую секунду по девятнашке или длиннее:
534697406220409: [0, 12, 22, 40, 48, 64, 78, 90, 132, 154, 174, 180, 190, 202, 204, 208, 220, 222, 238, 252], len=20
48914808659: [0, 2, 8, 68, 72, 80, 90, 110, 120, 134, 150, 164, 168, 182, 194, 210, 222, 248, 252], len=19
166747076205049: [0, 54, 58, 64, 70, 90, 114, 130, 138, 142, 148, 168, 172, 184, 208, 222, 228, 238, 240, 252], len=20
90868120442767: [0, 16, 64, 72, 82, 84, 90, 100, 114, 132, 136, 156, 160, 166, 180, 196, 204, 220, 232, 252], len=20
876883674847321: [0, 10, 16, 30, 36, 40, 42, 60, 78, 82, 120, 126, 130, 138, 162, 166, 190, 232, 240, 250, 252], len=21
277156635697031: [0, 2, 6, 12, 18, 26, 38, 98, 110, 132, 138, 150, 158, 188, 198, 200, 206, 216, 242, 252], len=20
Заметьте, тут есть даже девятнашка до $10^{11}$!
Но и это не предел, убрав случайность и перебрав простые до $10^{10}$, можно найти (исключая начало числового ряда до 10000 где есть кортеж длиной аж 53 начиная с 5) кортежи диаметром 252 длиной до 33 (показываю только последнее вхождение):
112921: [0, 6, 18, 30, 46, 58, 76, 90, 96, 100, 102, 106, 118, 120, 130, 142, 160, 162, 168, 172, 190, 196, 202, 210, 222, 226, 228, 232, 238, 240, 246, 250, 252], len=33
1219639: [0, 4, 10, 12, 18, 24, 40, 64, 78, 82, 88, 100, 108, 114, 124, 144, 148, 150, 154, 168, 172, 192, 198, 204, 208, 210, 220, 222, 232, 238, 240, 252], len=32
5803841: [0, 8, 18, 26, 36, 38, 42, 50, 60, 66, 86, 92, 96, 98, 102, 110, 120, 128, 138, 150, 158, 176, 182, 192, 200, 212, 218, 228, 240, 246, 252], len=31
461224117: [0, 4, 6, 22, 34, 40, 46, 60, 70, 72, 76, 84, 100, 102, 106, 120, 124, 126, 144, 154, 156, 172, 202, 210, 216, 222, 226, 250, 252], len=29
925594261: [0, 16, 22, 28, 48, 60, 82, 88, 118, 120, 130, 138, 148, 168, 172, 180, 186, 196, 198, 202, 208, 210, 216, 226, 228, 232, 238, 246, 250, 252], len=30
Более короткие продолжают встречаться.
Ради интереса проверил последний паттерн длиной 30 другим способом и он действительно больше не встречается вплоть до $10^{22}$ (но могли бы встретиться другие паттерны длиной 30, этого не знаю).
Девятнашек диаметром 252 до $10^{10}$ нашлось более 1.2млн (считалось полчаса и лог занял 240МБ текста).

Много информации о текущих мировых достижениях есть здесь (ссылка взята из OEIS).

[Dmitriy40]

Насчёт того что длинные паттерны перестают встречаться я разумеется неправ, не перестают, но становятся на порядки более редкими. Например следующие кортежи диаметром 252 и длиной 29 лишь эти:
12994008427: [0, 4, 10, 24, 30, 52, 54, 60, 64, 72, 82, 96, 100, 124, 136, 154, 156, 162, 184, 190, 192, 210, 220, 222, 226, 232, 234, 246, 252], len=29
23035794091: [0, 6, 10, 36, 46, 52, 66, 72, 78, 88, 90, 100, 102, 112, 120, 126, 136, 148, 150, 160, 162, 168, 172, 186, 202, 220, 226, 238, 252], len=29
23035794097: [0, 4, 30, 40, 46, 60, 66, 72, 82, 84, 94, 96, 106, 114, 120, 130, 142, 144, 154, 156, 162, 166, 180, 196, 214, 220, 232, 246, 252], len=29
В 28 раз дальше предыдущего! Хотя до $0.46\cdot10^9$ их 320шт, т.е. в среднем по одному на каждые 1.44млн.

-- 17.02.2023, 22:39 --

Собственно все 170 кортежей длиной 30 (до 1e9) - уникальны, паттерны в них не повторяются. Остальные сравнивать не стал, думаю там картина похожая.

[gris]

Dmitriy40, насчёт вероятности согласен. Она оценивается для конкретного диаметра и конкретного диапазона. Просто я недооценивал плотность простых и мне казалось почему-то, что на больших (1е30) диапазонах кортеж из 19 простых диаметром 252 скорее всего будет последовательным. Но я всегда проверяю свои предположения. И в данном случае оказался неправ.
Проверять последовательность простого кортежа количеством простых между началом и концом я попробовал, но мне показалось, что это дольше, чем посмотреть на все последовательные nextprime' мом. Он по крайней мере может обрубаться посередине.
Насчёт различия оценки времени на 32 и 64 произошло досадное недоразумение. Времена отличаются в два раза и там, и там. Довольно неудобно использовать 32 для дальнейшего использования на 64.
Спасибо за ссылки и примеры расчётов. Я многое смотрел, но мне сами результаты не особенно интересны. А, уже говорил . Вот ещё "придумал" формирование программы поиска кортежей при формировании комплекта паттернов и формул путём печатания текстов кусков программы в текстовый файл, чтобы потом её оттуда запускать.
Моя деятельность напоминает мне сборку игрушечного автомобиля из ЛЕГО (PARI доставляет такое же удовольствие ). Интересно, увлекательно и красиво, но для реальной езды не предназначено

[Dmitriy40]

Нашлись ещё кортежи:
62448173849: [0, 8, 12, 20, 24, 68, 78, 80, 84, 90, 92, 98, 102, 110, 120, 122, 138, 140, 150, 162, 194, 200, 210, 218, 222, 230, 242, 248, 252], len=29
70872264271: [0, 6, 12, 18, 22, 30, 42, 48, 58, 70, 72, 76, 96, 100, 102, 112, 118, 120, 132, 160, 172, 180, 186, 202, 208, 228, 232, 238, 246, 252], len=30
И все 171 кортеж длиной 30 не только уникальные, но и не дают ещё решений вплоть до $10^{20}$.