Хорда как основание треугольника с вершиной на радиусе

[Corvax]

Добрый день !
Прошу помощи в решении прикладной задачи. Имеется окружность с центром $O$ радиусом $R$ и равнобедренный треугольник $ABC$. Вершины $A$ и $C$ лежат на окружности, а вершина $B$ лежит на радиусе. Расстояние $OB$ и угол $\beta$ при вершине $В$ известны. Требуется найти $AC$.

Что мне понятно в такой постановке задачи:

Можно вычислить расстояние $BD=R-OB$. Отсюда можно определить $EF=2BD\sin(\beta/2)$ и $GH=2BD\tg(\beta/2)$.
Треугольники $BEF$ и $BGH$ полностью решены. Искомая хорда находится в диапазоне $EF<AC<GH$
Искомую хорду $AC$ можно выразить через центральный угол $AC=2R\sin(\alpha/2)$ но угол $\alpha$ не известен.
Можно рассмотреть эллипс с фокусами $O$ и $B$. У него известен один фокальный радиус $OA=R$ и угол между вторым фокальным радиусом $BA$ и большой полуосью равный $\beta/2$. В этом случае нужно определить либо значение фокального радиуса $BA$, либо угол $\alpha$ либо расстояние $AM$ от точки $A$ до большой полуоси эллипса.
Еще я пробовал решить систему уравнений для нахождения координат точки $C$$$ пересечения окружности и отрезка $BC$
$\begin{cases} x^2+y^2=R^2\\ y=OB+BC\cos(\beta/2)\\ x=BC\sin(\beta/2) \end{cases}$

[Ende]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- отсутствуют собственные содержательные попытки решения задачи.
- даже обозначения точек и длин требуется оформлять как формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы);


Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Ende]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
Причина переноса: не указана.

[mihiv]

Система уравнений решается: $\dfrac {y-OB}x=\ctg (\frac {\beta}2)$

[EUgeneUS]

Corvax
Можно еще так: в треугольнике $ABO$ известно две стороны и угол, а значит известно всё. Находим $AB$. Откуда находим $AC$.

[Corvax]

mihiv в сообщении #1582009 писал(а):

Система уравнений решается: $\dfrac {y-OB}x=\ctg (\frac {\beta}2)$

Спасибо. Однако это не позволяет найти длину хорды $AC=2y$, так как нам известны только $R$, $OB$ и угол $\beta$

-- 17.02.2023, 14:02 --

EUgeneUS в сообщении #1582019 писал(а):

Corvax
Можно еще так: в треугольнике $ABO$ известно две стороны и угол, а значит известно всё. Находим $AB$. Откуда находим $AC$.

Я рассматривал такой вариант, но не смог решить треугольник $ABO$. Известны две стороны $OB$ и $OA$ и угол, но угол не между этими сторонам, а при вершине $B$ равный $180-\beta/2$.

-- 17.02.2023, 14:19 --

Небольшое уточнение по формулировке задачи - для практических расчетов важно получить значение $OM$, т. е. расстояние о центра окружности до хорды. Зная длину хорды и радиус окружности $OM$ можно вычислить через высоту сегмента.

[mihiv]

Corvax в сообщении #1582021 писал(а):

mihiv в сообщении #1582009 писал(а):

Система уравнений решается: $\dfrac {y-OB}x=\ctg (\frac {\beta}2)$

Спасибо. Однако это не позволяет найти длину хорды $AC=2y$, так как нам известны только $R$, $OB$ и угол $\beta$

Так этого уравнения никто не отменял:$x^2+y^2=R^2$

[Corvax]

mihiv в сообщении #1582028 писал(а):

Corvax в сообщении #1582021 писал(а):

mihiv в сообщении #1582009 писал(а):

Система уравнений решается: $\dfrac {y-OB}x=\ctg (\frac {\beta}2)$

Спасибо. Однако это не позволяет найти длину хорды $AC=2y$, так как нам известны только $R$, $OB$ и угол $\beta$

Так этого уравнения никто не отменял:$x^2+y^2=R^2$

С Вашими подсказками и помощью WolframAlpha система уравнений решилась:
$x=\sin(\frac{\beta}2)\left(\sin(\frac{\beta}2)\sqrt{R^2\cot^2(\frac{\beta}2)-OB^2+R^2}-OB\cos(\frac{\beta}2)\right)$
$y=\sin(\frac{\beta}2)\left(\cos(\frac{\beta}2)\sqrt{R^2\cot^2(\frac{\beta}2)-OB^2+R^2}-OB\sin(\frac{\beta}2)\right)$
Длина хорды $AC=2x$
Контрольный пример сошелся.
Большое спасибо за помощь в решении.