Общий вопрос по топологии

[Kirov-80]

Скажите, кто знает: если мы ввели какую-нибудь топологию, есть ли у нас гарантия, что на ней можно ввести какое-либо непрерывное преобразование, или для этого нужны дополнительные сильные условия?
Спасибо

[Anton_Peplov]

Приведите здесь определение непрерывного отображения и проверьте отображение $\forall x \, f(x) = x$.

[Ende]

Тема перемещена из форума «Математика (общие вопросы)» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
Причина переноса: темы, в которых нужно что-то объяснить или подсказать, создаются в этом разделе.

[krum]

Kirov-80 в сообщении #1581484 писал(а):

Скажите, кто знает: если мы ввели какую-нибудь топологию, есть ли у нас гарантия, что на ней можно ввести какое-либо непрерывное преобразование,

на топологии преобразование? кто на ком стоял?

[EminentVictorians]

(Оффтоп)

krum в сообщении #1581502 писал(а):

на топологии преобразование? кто на ком стоял?

А разве так нельзя сказать? Есть топологическое пространство $(X, \tau)$. Kirov-80 похоже хочет узнать, можно ли, обладая только этой информацией, ответить положительно или отрицательно на вопрос о существовании непрерывного отображения $X \to X$ (в данной топологии). Насколько мне известно, называть преобразованием функцию с совпадающими областью и кообластью - вполне общепринятая практика.

[krum]

(Оффтоп)

EminentVictorians

скажите, а у Вас образование какое? просто любопытно

[Kirov-80]

krum в сообщении #1581532 писал(а):

(Оффтоп)

EminentVictorians

скажите, а у Вас образование какое? просто любопытно

У меня? Московский издательско-полиграфический колледж имени российского первопечатника Ивана Фёдорова, технология допечатных процессов.
Если Вы также хотите, чтобы я ответил на Вашу первую реплику, то для этого у меня не хватает квалификации, а А.Пеплову имею честь сообщить, что случай тожд. преобразования меня не вдохновляет.

[krum]

Kirov-80 в сообщении #1581612 писал(а):

У меня?

нет, я не Вас спросил

[mihaild]

Kirov-80, а какие топологические пространства с маленьким числом элементов Вы знаете? Какие на них есть непрерывные преобразования?

[krum]

А вопрос-то между прочим, интересный. И так, есть хаусдорфово топологическое пространство. Кроме тождественного отображения и отображения "все в одну точку" существуют ли еще какие-нибудь непрерывные отображения этого пространства в себя? Что вообще можно сказать о множестве таких отображений.

[Kirov-80]

А что, хаусдорфовость обязательно надо упоминать?
В определении непр. отображения она никак не фигурирует.

[mihaild]

krum в сообщении #1583068 писал(а):

Кроме тождественного отображения и отображения "все в одну точку" существуют ли еще какие-нибудь непрерывные отображения этого пространства в себя?

Могут и не существовать (в смысле есть пространство, для которого не существуют), но я не знаю, как до этого самостоятельно додуматься.

Kirov-80 в сообщении #1583112 писал(а):

А что, хаусдорфовость обязательно надо упоминать?

Пример нехаусдорфова пространства, непрерывное отображение которого в себя обязательно тождественно, строится элементарно, поэтому неинтересно.