Точные формулы для численной задачи

[DLL]

Рассмотрим два уравнения

$$ f(x,y,z,w) = 0, g(x,y,z,w) = 0 $$

Допустим у нас есть одно решение $(x_0,y_0,z_0,w_0)$.
Мы немного сдвигаем одну переменную скажем на $\Delta x$, то есть $x = x_0 + \Delta x$ и хотим найти наиболее близкую точку решение.
Резонно поставить следующую задачу минимизации. Скажем,

$$ f_y \Delta y + f_z \Delta z + f_w \Delta w = \epsilon_1, $$ $$ g_y \Delta y + g_z \Delta z + g_w \Delta w = \epsilon_2, $$

И

$$ \Delta y^2 + \Delta z^2 + \Delta w^2 \rightarrow min $$

где $- f_x \Delta x = \epsilon_1, - g_x \Delta x = \epsilon_2.$

Систему линейных уравнений которая получается из условной оптимизации по Лагранжу можно легко решить

$$ \left[\Delta y = -\frac{A f_{y}}{2}-\frac{B g_{y}}{2}, \Delta z = -\frac{A f_{z}}{2}-\frac{B g_{z}}{2}, \Delta w = -\frac{A f_{w}}{2}-\frac{B g_{w}}{2}\right] $$

И

$$ A = \frac{2 \mathit{e1} \,g_{w}^{2}+2 \mathit{e1} \,g_{y}^{2}+2 \mathit{e1} \,g_{z}^{2}-2 \mathit{e2} f_{w} g_{w} -2 \mathit{e2} f_{y} g_{y} -2 \mathit{e2} f_{z} g_{z}}{f_{w}^{2} g_{y}^{2}+f_{w}^{2} g_{z}^{2}-2 f_{w} f_{y} g_{w} g_{y} -2 f_{w} f_{z} g_{w} g_{z} +f_{y}^{2} g_{w}^{2}+f_{y}^{2} g_{z}^{2}-2 f_{y} f_{z} g_{y} g_{z} +f_{z}^{2} g_{w}^{2}+f_{z}^{2} g_{y}^{2}}, $$ $$ B = -\frac{2 \left(\mathit{e1} f_{w} g_{w} +\mathit{e1} f_{y} g_{y} +\mathit{e1} f_{z} g_{z} -\mathit{e2} \,f_{w}^{2}-\mathit{e2} \,f_{y}^{2}-\mathit{e2} \,f_{z}^{2}\right)}{f_{w}^{2} g_{y}^{2}+f_{w}^{2} g_{z}^{2}-2 f_{w} f_{y} g_{w} g_{y} -2 f_{w} f_{z} g_{w} g_{z} +f_{y}^{2} g_{w}^{2}+f_{y}^{2} g_{z}^{2}-2 f_{y} f_{z} g_{y} g_{z} +f_{z}^{2} g_{w}^{2}+f_{z}^{2} g_{y}^{2}}. $$

В знаменателе стоит сумма квадратов всех возможных определителей 2 на 2. Было бы хорошо понять как это можно получить из общий соображений.
Также интересует обобщение на чуть большую (практическую) задачу из 9 уравнений и 15 переменных (достаточно разреженную).
Если это часть какого стандартного численного метода, также было бы интересно получить ссылку.

[EXE]

DLL
Например, если Ваши уравнения полиномиальные, то работают известные алгоритмы их решения. Они реализованы в мат макетах. Вы можете найти все решения, то есть все в практических целях, грубо говоря. Фиксируя любую пару переменных, находите все решения системы 2X2.
Если система неполиномиальная, то тоже есть способы нахождения всех решений.
Если я правильно понял Вашу задачу.