колебания свободной поверхности жидкости в стакане

[VASILISK11]

reterty в сообщении #1579288 писал(а):

Мне давно в голову засела следующая задача: Определить период малых плоских колебаний свободной поверхности жидкости в круглом стакане радуса $R$. Трением жидкости о стенку стакана пренебречь. Я видел пару статей о нормальных модах таких колебаний при различных формах колеблющейся свободной поверхности. Там чистая матфизика. но это не то. Подразумевается, что решение данной задачи должно быть "чисто школьным"....

Чисто по школьному можно рассмотреть колебания/вращение жидкой полусферы.

[Утундрий]

VASILISK11 в сообщении #1579872 писал(а):

Чисто по школьному можно рассмотреть колебания/вращение жидкой полусферы.

Особенно замороженной.

[sergey zhukov]

VASILISK11
Такое решение вроде бы логично, но вряд-ли оно хорошо подходит. Я думаю, оно завышает кинетическую энергию. Вот два вида колебаний жидкости в квадратном стакане: потенциальное (которое наверняка очень близко к тому, что происходит на самом деле) и "сферическое". Поля скоростей заметно не совпадают:

[KhAl]

Извините, что влезаю, не умею ориентироваться в картинках!
sergey zhukov а как именно они не совпадают? (вопрос не риторический, я просто хочу разобраться) Вроде верхушка качается, как качели (seesaw, а не swing), а то, что ниже, колеблется влево-вправо либо по диагонали в зависимости от близости к центру -- на обеих картинках. Что я упускаю?

[sergey zhukov]

KhAl
Если вы не видите разницы в этих картинках, то я уже ничем не могу помочь. Как-то еще проще это объяснить уже невозможно, по моему.

И еще. На этих картинках период колебаний нарисован одинаковым. На самом деле он будет разным.

[KhAl]

sergey zhukov в сообщении #1580666 писал(а):

Если вы не видите разницы в этих картинках, то я уже ничем не могу помочь. Как-то еще проще это объяснить уже невозможно, по моему.

Хм, хорошо. А можете нарисовать поле скоростей стрелочками, может, так пойму?

[sergey zhukov]

KhAl
Что еще за детский сад? Это вы сами рисуйте, если уж на таких картинках непонятно.

[VASILISK11]

sergey zhukov в сообщении #1580633 писал(а):

VASILISK11
Такое решение вроде бы логично, но вряд-ли оно хорошо подходит

Вопрос в том, какая часть жидкости вовлекается в процесс колебаний. Скорее всего вся жидкость в стакане, как не парадоксально звучит. Частота колебаний обратно пропорциональна корню квадратному от высоты стакана. Если есть желание, можно сравнить частоту колебаний, при разной высоте стакана, на левом рисунке.

[sergey zhukov]

VASILISK11
Если взять стакан фиксированной площади и делать его все более глубоким, то очень быстро частота колебаний перестает зависеть от глубины стакана и стремится к пределу. С увеличением расстояния от поверхности интенсивность движения жидкости быстро падает, так что начиная с некоторой глубины можно уже считать стакан бесконечно глубоким.

Предыдущие результаты нужно понимать в том смысле, что если стакан достаточно глубокий (дальнейшее увеличение его глубины уже не ведет к изменению периода колебаний), то период колебаний пропорционален корню из диаметра стакана (если он круглый). Но это совсем не значит, что период колебаний пропорционален корню из глубины стакана, это совсем не то.

Жидкость, конечно, движется на любой глубине, но 99% ее кинетической энергии сосредоточено только в верхнем слое небольшой толщины. Остальную жидкость на бОльшей глубине можно считать неподвижной. Скажем, если удвоить глубину стакана на левом рисунке, то картина колебаний останется практически той же самой. Добавленная снизу часть жидкости будет почти неподвижна.

[VASILISK11]

sergey zhukov
Согласен, по школьному такую задачу, по-видимому, не решить. Пробовал через линии тока. В модели полушария сечение линии не меняется по окружности, но тогда период колебания жидкости будет уменьшаться с уаеличением радиуса линии, что неправильно. Линия тока должна имепт переменное сечение, но как составить уравнение непонятно.

[sergey zhukov]

VASILISK11
Выше уже было замечено, что задача в общем сложная. Бывает, правда, такой фокус: дается задача из класса очень сложных, но условия ее постановки подобраны специально так, что она решается просто. Нужно лишь заметить, что не следует пытаться решать эту задачу общим сложным методом, а нужно применить простой частный метод, который подходит именно в этом частном случае. Может быть, эта задача такого сорта.

Чтобы решить задачу для линии тока переменного сечения, можно сначала рассмотреть такую простую задачу: колебания жидкости в U-образной трубке с плечами разного сечения.

Первое, что нужно предположить: колебания малы в сравнении с высотой трубок. Это значит, что нам не придется рассматривать переменные объемы жидкости, движущиеся с переменной скоростью. Масса жидкости в каждом плече постоянна при колебаниях.

Второе - удобно использовать механику Лагранжа. Это значит (в данном случае), что разница кинетической и потенциальной энергии нашей системы (т.е. лагранжиан $L$ - функция от координаты $x$ и скорости $\dot x$) должна удовлетворять такому дифференциальному уравнению (уравнение Эйлера-Лагранжа):

$$\frac{\partial}{\partial t} (\frac{\partial L}{\partial \dot x})-\frac{\partial L}{\partial x}=0$$

Все, что нужно сделать - это выбрать что-нибудь за $x$ (например, высоту подьема точки поверхности жидкости от равновесного уровня в плече бОльшего сечения), и выразить через это $x$ потенциальную энергию системы. Затем выразить кинетическую энергию системы через $\dot x=\frac{\partial x}{\partial t}=U_x$, т.е. через скорость точки $x$. Вычесть выражение для кинетической энергии из выражения для потенциальной энергии (это будет наш лагранжиан $L$) и подставить $L$ в уравнение Эйлера-Лагранжа. Попробуйте, это совсем просто.