2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Гомоморфизмы алгебры матриц
Сообщение07.02.2023, 17:53 
Здравствуйте!

Возник вопрос. Существуют ли нетривиальные гомоморфизмы алгебры матриц (над R или C) в R (или C) помимо следов матриц? (Иначе говоря, существуют ли нетривиальные характеры квадратных матриц кроме следов)

Заранее спасибо!

 
 
 
 Re: Гомоморфизмы алгебры матриц
Сообщение07.02.2023, 18:30 
Аватара пользователя
Вы хотите гомоморфизм алгебры, или аддитивной группы? След не является гомоморфизмом алгебр (след произведения обычно не равен произведению следов, да и вообще в кольце матриц нет нетривиальных идеалов. Да и вообще в кольце матриц нет нетривиальных идеалов, так что любой гомоморфизм либо нулевой, либо изоморфизм.
А гомоморфизмов аддитивной группы, понятно, вагон (рассматриваете матрицы как векторное пространство и берете на нём линейный функционал).

(либо я что-то неправильно прочитал в вопросе)

 
 
 
 Re: Гомоморфизмы алгебры матриц
Сообщение07.02.2023, 20:56 
Определитель матрицы?

 
 
 
 Re: Гомоморфизмы алгебры матриц
Сообщение07.02.2023, 21:09 
Аватара пользователя
если речь идет о гомоморфизме мультипликативных групп то не только опаределитель

 
 
 
 Re: Гомоморфизмы алгебры матриц
Сообщение07.02.2023, 21:43 
А,тут еще должно быть $f(x+y)=f(x)+f(y)$, так что определитель не годится.

 
 
 
 Re: Гомоморфизмы алгебры матриц
Сообщение08.02.2023, 04:49 
mihaild в сообщении #1580629 писал(а):
след произведения обычно не равен произведению следов

Ужас! Я был уверен, что это не так и не проверил...

Все дело в том, что я ищу отображение матриц, которое занулялось бы на коммутаторах. След коммутаторов всегда равен нулю (собственно, поэтому я и подумал, что след - это характер алгебры). Есть ли еще подобные отображения? (Необязательно даже в С или R)

mihaild в сообщении #1580629 писал(а):
в кольце матриц нет нетривиальных идеалов

Грустно(

Спасибо за ответы!

 
 
 
 Re: Гомоморфизмы алгебры матриц
Сообщение08.02.2023, 06:29 
Аватара пользователя
ElfDante в сообщении #1580660 писал(а):
Все дело в том, что я ищу отображение матриц, которое занулялось бы на коммутаторах.
Может быть, Вам "поможет" (свернуть поиски :-) ) такое соображение: любая бесследовая квадратная матрица $C$ является чьим-то коммутатором. Доказательство, например, в статье Only Commutators Have Trace Zero.

Поэтому любой критерий того, что $C$ является коммутатором, эквивалентен условию $\operatorname{tr} C=0$.

 
 
 
 Re: Гомоморфизмы алгебры матриц
Сообщение08.02.2023, 11:09 
svv в сообщении #1580663 писал(а):
Поэтому любой критерий того, что $C$ является коммутатором, эквивалентен условию $\operatorname{tr} C=0$.

А мне и не нужен подобный критерий. У меня есть в чистом виде коммутаторы и мне бы хотелось найти отображение, которое их зануляет. Оно может занулять много чего еще.

Но за интересное утверждение - спасибо!

 
 
 
 Re: Гомоморфизмы алгебры матриц
Сообщение08.02.2023, 11:56 
Есть, например, такой гомоморфизм: рассмотрим множество матриц, у которых в первом столбце отличен от 0 лишь элемент $a_{11}$, элементы остальных столбцов произвольные. Сопоставляем каждой такой матрице элемент $a_{11}$.

 
 
 
 Re: Гомоморфизмы алгебры матриц
Сообщение08.02.2023, 12:27 
Аватара пользователя
ElfDante в сообщении #1580686 писал(а):
У меня есть в чистом виде коммутаторы и мне бы хотелось найти отображение, которое их зануляет
Всё-таки, какие требования на это отображение? Линейный функционал?
Тогда других нет (с точностью до умножения на константу), линейный функционал однозначно задается своим ядром (оно должно быть коразмерности 1, в данном случае - коммутаторы), и значением на произвольном элементе не из ядра (это как раз выбор константы).

 
 
 [ Сообщений: 10 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group