Давление света ?

[freeman88]

мат-ламер в сообщении #1580243 писал(а):

Случайно Ютуб мне подсунул лекцию: https://www.youtube.com/watch?v=8qVLMHW5cbY . Лекция для школьников.

warlock66613 в сообщении #1580204 писал(а):

Так ведь и магнитное поле направлено то в одну, то в другую сторону. Минус на минус и опять получается плюс.

Лектор про направление действия полей в начале лекции рассказывает. Однако, формулу для давления света как-то сложновато выводит. У нас в школе ничего похожего не было. В университете вроде как импульс фотона выводился из формулы $E^2-p^2c^2=m^2c^4$ , где для фотона $m=0$ .

О, кстати говоря !

Также вопрос на уме всё вертелся: фотон же не имеет массу, тем не менее он имеет импульс. Это как так ?
p = m*v, но m=0 для фотона => p=0 - импульса нет.

Кто-то может объяснить на пальцах ? :)
Где-то читал или слышал, что эта формула импульса действительна только в классической механике ?

[мат-ламер]

freeman88 в сообщении #1580380 писал(а):

Где-то читал или слышал, что эта формула импульса действительна только в классической механике ?

Вы правы. Ваша формула верна только в классической механике. А при больших скоростях $p=\frac{mv}{\sqrt{1-v^2 \slash c^2}}$ . Эта формула даёт импульс для частиц (тел), которые имеют массу. А для безмассовых частиц (типа фотона) её применять нельзя. Тогда пользуемся формулой $E=pc$ .

[freeman88]

мат-ламер в сообщении #1580383 писал(а):

freeman88 в сообщении #1580380 писал(а):

Где-то читал или слышал, что эта формула импульса действительна только в классической механике ?

Вы правы. Ваша формула верна только в классической механике. А при больших скоростях $p=\frac{mv}{\sqrt{1-v^2 \slash c^2}}$ . Эта формула даёт импульс для частиц (тел), которые имеют массу. А для безмассовых частиц (типа фотона) её применять нельзя. Тогда пользуемся формулой $E=pc$ .

О как..

А откуда известно, что $E=pc$ ?

[sergey zhukov]

freeman88
Это примерно так же, как если в ньютоновской механике взять частицу и устремить ее скорость $u$ к бесконечности, а массу $m$ - к нулю, причем так, чтобы произведение $mu$, т.е. импульс, оставалось постоянным. Скорость света в СТО обладает некоторыми свойствами бесконечной скорости ньютоновской механики. Но эта аналогия далеко не идеальная.

Правильнее считать, что масса - это мера энергии, заключенной в теле. Свет переносит энергию, это очевидно. Но скорость света постоянна и всегда одинакова при любой переносимой энергии. Поэтому энергия световых квантов не может зависеть от их скорости. Она зависит от их частоты. Частота света по аналогии со звуковыми волнами подвержена эффекту Доплера, т.е. может уменьшаться и увеличиваться для движущихся источников и приемников. Рассматривая замкнутый невесомый ящик с зеркальными внутренними стенками, в котором заключено некоторое количество излучения, и используя формулу Доплер-эффекта, вы без труда сможете увидеть, что ускоряя такой ящик, мы повышаем энергию излучения, заключенную в нем, т.к. свет в этом случае отражается от движущихся стенок. Значит, мы должны совершать работу по ускорению невесомого ящика. На что идет эта работа? На повышение энергии излучения внутри ящика. Так невесомый ящик получает массу.

[мат-ламер]

freeman88 в сообщении #1580384 писал(а):

А откуда известно, что $E=pc$ ?

Не имею понятия. Для частиц с массой можно вывести формулу $E^2-p^2c^2=m^2c^4$ . Если рассуждать строго, то $m=0$ мы в эту формулу подставлять не можем, ибо формулу мы выводили сугубо для массивных частиц. Однако, если мы устремим массу частицы к нулю, то будет всё более точнее выполняться формула $E=pc$ . Наверное для нейтрино эта формула будет выполняться с большой точностью (но всё же примерно). Это позволяет думать, что эта формула будет выполняться точно для безмассовых частиц. Но, поскольку это лишь гипотеза, то она нуждается в проверке опытом. Что и проделал Лебедев. Но это всё лишь мои предположения. Интересно будет послушать мнение физиков.

[Paganel]

Хотя давление ЭМ-волны легко получить из закона сохранения импульса системы "поле плюс заряды", любителям покопаться в микроскопическом происхождении подобных сил покажу простенький расчет в геометрии нормального падения, когда-то выложенный на форуме Мембраны и давно сгинувший вместе с сайтом. Используется система единиц Хевисайда (без лишних $4\pi$ в плотности энергии и т.п.). Суть расчета такова - электрическое поле $\vec E$ в среде вызывает электрический ток $\vec J$, параллельный полю, и на этот ток действует магнитное поле волны $\vec H\perp \vec E$, создавая силу вдоль нормали (силу давления).

Итак, пусть на плоскую поверхность тела ($z=0$) из вакуума ($z<0$) перпендикулярно падает вдоль оси $+z$ плоская ЭМ волна с линейной поляризацией электрического поля вдоль оси $x$ и магнитного поля вдоль оси $y$:
$E_x=E\exp(-iwt+ikz)$, $H_y=E\exp(-iwt+ikz)$
[при $z<0$]. Здесь $w$ и $E$ - вещественные параметры. В силу уравнений Максвелла $ck=w$ и $H_y=E_x$.

(Комплексная форма полей и токов выбрана здесь чисто для удобства дифференцирования - чтобы не писать уйму синусов и косинусов. Можно считать, что в получаемых выражениях физсмысл имеет только реальная часть. Либо, что удобней - что билинейные комбинации вроде вектора Пойнтинга вычисляются не как $\vec E\times \vec H$, а как $\operatorname{Re}(\vec E\times \vec H^\dag)$, где $\dag$ означает комплексное сопряжение.)

Пусть эта волна порождает в области вакуума $(z<0)$ отраженную волну
$E_x=R E\exp(-iwt-ikz)$, $H_y=-R E\exp(-iwt-ikz)$,
где $R$ - комплексная амплитуда отражения. Знак минус в выражении для магнитного поля диктуется уравнениями Максвелла и связан с противоположным направлением волнового вектора.

Пусть во внутренней области тела $(z>0)$ возникает волна, проходящая вглубь и затухающая там:
$E_x=E'\exp(-iwt+ik'z)$, $H_y=H'\exp(-iwt+ik'z)$.
Здесь $k'$ - комплексная константа с $\operatorname{Im} k'>0$ (затухание, хотя бы слабое!), зависящая от материала тела (точнее - от микроскопических токов в нем, от проводимости). Так как на границе тела тангенциальные компоненты $\vec E$ и $\vec H$ непрерывны, то $E'=E(1+R)$ и $H'=E(1-R)$.

Величину тока в системе можно определить из уравнений Максвелла
[$c dE_x/dz=-dH_y/dt$, $-c dH_y/dz=dE_x/dt + J_x$ в СГС].
Записывая $J_x=J\exp(-iwt+ik'z)$
[в предположении линейной связи между $J_x$ и $E_x$ и одинаковой зависимости их фаз от $t$ и $z$], имеем:
$ick'E'=iwH'$, $ick'H'=iwE' - J$,
откуда
$ck' = w(1-R)/(1+R)$ и $J=4i wER/(1+R)$.
Таким образом, все поля и токи в системе оказываются выраженными через два вещественных $(w,E)$ и один комплексный $(R)$ параметр. Для затухающей волны $(\operatorname{Im} k'>0)$ амплитуда отражения $R$ обязана иметь неисчезающую мнимую часть.

Теперь все готово для вычисления сил и импульсов. Следующие шаги (через вектор Пойнтинга) описаны не вполне строго, но их легко обосновать, рассматривая волновые пакеты, составленные из описанных выше плоских волн, и отбрасывая в интегралах быстро осциллирующие члены.

Вектор Пойнтинга дает плотность импульса $\vec g$ падающей волны:
$g_z=\operatorname{Re}(E_x H_y^\dag)/c = (1/c) E^2$.
Для отраженной волны $g_z^r= -(1/c) E^2 |R|^2$.
За большое время $T\gg 1/w$ со стороны падающей и отраженной волны телу передается импульс $G=сТA(g_z-g_z^r)$ [здесь $A$ - поперечный размер тела, а фактор $cTA$ связан с объемом области, занятой волной]. Волна, проникающая в тело, затухает и потому ограничена по своей протяженности. Поэтому ее импульс (пропорциональный объему) не содержит большого фактора $Т$, и он может быть отброшен при рассмотрении баланса импульсов и сил. Соответственно давление света, найденное через вектор Пойнтинга, равняется $p = G/(TA) = E^2 (1 + |R|^2)$.

То же самое давление можно найти микроскопически через силу, действующую со стороны волны на ток. Объемная плотность силы равна $J_x H_y/c$, а давление есть интеграл от плотности по $dz$:
$p = \int[(1/c) \operatorname{Re}(J_x H_y^\dag)]dz = \operatorname{Re}(JH'^\dag)/(2c \operatorname{Im} k')$
или
$p = E^2 \operatorname{Im}[-2R (1-R^\dag)/(1+R)] / \operatorname{Im}[(1-R)/(1+R)]$.
Так как
$\operatorname{Im}[(1-R)/(1+R)] = -2 \operatorname{Im}R/|1+R|^2$
и
$\operatorname{Im}[R (1-R^\dag)/(1+R)] = \operatorname{Im} R (1+|R|^2)/|1+R|^2$,
то это выражение действительно дает $p = E^2 (1 + |R|^2)$.

Так что давление света можно считать любым способом - хоть через вектор Пойнтинга, хоть через силу Ампера. Ответ одинаков. В случае полного отражения $(|R|\to 1)$ давление вдвое больше, чем в случае полного поглощения $(R\to 0)$ при той же плотности энергии падающей волны.

Отметим, что плотность энергии падающей волны равна
$W = (1/2) (|E_x|^2 + |H_y|^2) = E^2$,
а плотность энергии отраженной волны равна
$W^r = E^2 |R|^2$.
Видно, что давление света равно сумме этих двух плотностей:
$p = W + W^r$,
что в точности соответствует давлению, оказываемому потоком безмассовых частиц, которые движутся со скоростью $c$ и частично упруго отражаются назад от поверхности.

[Paganel]

Поправка: не пропечатались символы в формуле, набранные по-русски. Читать фрагмент надо так:

За большое время $T\gg 1/w$ со стороны падающей и отраженной волны телу передается импульс $G=cTA(g_z-g_z^r)$ [здесь $A$ - поперечный размер тела (поперечное сечение), а фактор $cTA$ связан с объемом области, занятой волной].

[warlock66613]

мат-ламер в сообщении #1580387 писал(а):

Для частиц с массой можно вывести формулу $E^2-p^2c^2=m^2c^4$ .

Эта формула выводится и для частиц с массой и для частиц без массы, поскольку она глубоко связана с лоренц-инвариантностью. (Так как сохранение энергии связано с симметрией относительно смещения во времени, а импульс — пространства, а преобразования Лоренца перемешивают одно с другим, то энергия и импульс тоже должны "перемешиваться", поэтому они образуют 4-вектор, а поэтому справедлива эта формула.)

[DimaM]

мат-ламер в сообщении #1580201 писал(а):

Волна колеблется то в одну, то в другую сторону. Следовательно, давление будет также то в одну, то в другую сторону.

Таки слово "следовательно" само по себе не создает логической связи . Также следует помнить о поперечности электромагнитных волн.

[мат-ламер]

freeman88 в сообщении #1580384 писал(а):

А откуда известно, что $E=pc$ ?

мат-ламер в сообщении #1580387 писал(а):

Для частиц с массой можно вывести формулу $E^2-p^2c^2=m^2c^4$ .

Для частиц с массой можно и такую формулу вывести $p=\frac{Ev}{c^2}$ . Предполагая, что эта формула верна и для частиц без массы, можно из неё получить и формулу для импульса фотона.

[мат-ламер]

DimaM в сообщении #1580425 писал(а):

Таки слово "следовательно" само по себе не создает логической связи . Также следует помнить о поперечности электромагнитных волн.

Спасибо, конечно, за исправление. Только вопрос на счёт "следовательно" был выяснен в середине прошлой страницы обсуждения. Сначала warlock66613 дал ответ на мой вопрос. Затем я дал ссылку на соответствующую лекцию, где было разъяснено направление действия сил.

Однако, там вопрос вообще стоял не об этом. А о том, насколько рассуждения Максвелла на счёт токов подходят для диэлектриков? Я задал вопрос:

мат-ламер в сообщении #1580125 писал(а):

Насчёт токов я не понял. А если лепестки сделать не металлическими, а из слюды? Что говорит теория в этом случае?

И получил ответ:

warlock66613 в сообщении #1580140 писал(а):

Электроны и в слюде прекрасно колеблются ("классическая" модель атома в виде электрона на пружинке), а этого достаточно.

И пока у меня чувство, что для диэлектриков всё немного сложней. Почему непрозрачный диэлектрик (типа слюды) воспримет импульс света, понятно. Хотя, я бы объяснил это не через рассуждения Максвелла. А вот почему прозрачный диэлектрик (типа стекла) не воспримет импульс света? Электроны в стекле прекрасно колеблются? Или не совсем?

[sergey zhukov]

мат-ламер в сообщении #1580490 писал(а):

А вот почему прозрачный диэлектрик (типа стекла) не воспримет импульс света?

Можно предположить, что в прозрачных диэлектриках на колеблющийся заряд сила Лоренца в электромагнитном поле действует в разные стороны в разных фазах колебания, а в среднем это ноль. Скажем, вынужденные колебания осциллятора, если частота вынуждающей силы не совпадает с собственной частотой колебаний, происходят так, что средняя сила, действующая на колеблющееся тело за период равна нулю, хотя мгновенная сила не равна нулю.

[мат-ламер]

sergey zhukov
У меня ровно такие же мысли возникли. Но на всякий случай может что в учебниках найду. Дело в том, что электрическое поле, падающее на тело, создаёт не ток. Оно создаёт силу, действующую на электроны. А уж далеко они смогут продвинуться под действием этой силы, тут надо смотреть конкретно. В металле более-менее понятно. Там электроны проводимости могут более-менее свободно двигаться вдоль кристаллической решётки. Там создаётся реальный ток, который не только гасит падающую волну поля, но и создаёт волну отражения. Кстати, в космосе ионизированный газ (например, водород) имеет плохую прозрачность. Наверное, тот же механизм, что и в металле. А вот атомарный водород достаточно прозрачный (кроме некоторых областей частот). Наверное, току особо негде там развернуться.

[warlock66613]

мат-ламер в сообщении #1580490 писал(а):

А вот почему прозрачный диэлектрик (типа стекла) не воспримет импульс света?

В первом приближении — из-за иной диэлектрической проницаемости, которая как раз и определяет насколько сильно внешнее поле влияет на распределение заряда в атомах.

[DimaM]

мат-ламер в сообщении #1580490 писал(а):

А вот почему прозрачный диэлектрик (типа стекла) не воспримет импульс света?

Свет частично отражается от границы прозрачного диэлектрика. Следовательно, на диэлектрик должна действовать сила.