Между струйками

[krum]

Счетное множество $P$ плотно в $\mathbb{R}^n,\quad n>1. $
Доказать, что любые две различные точки $a,b\in \mathbb{R}^n\backslash P$ можно соединить кривой $\gamma$ класса $C^\infty$, такой, что $\gamma\cap P=\emptyset$

[KoppeKToP]

Назовем множество плохим, если оно не содержит точки из $P$. Обозначим наши точки $A, B$.
Тогда рассмотрим семейство окружностей с центрами, лежащими на серединном перпендикуляре к отрезку $AB$. Среди таких окружностей обязаны найтись плохие окружности, т.к. окружности семейства пересекаются лишь по плохим точкам $A$ и $B$, и таких окружностей несчетное количество, стало быть, если бы каждая из них содержала хотя бы одну хорошую точку, то выбором таких хороших точек мы бы нашли несчетное подмножество в $P$.

Окружности в этом рассуждении можно заменить на любое несчетное семейство гладких кривых, лишь бы они пересекались только по A и B. Аналогично можно находить плохие плоскости или вообще поверхности любой размерности.

[krum]

Как-то так, да.