Сказка про оптику, инопланетян и квантовую механику

[amon]

Сказка для понимающих.

На далекой планете, где нет магнитного поля и ферромагнетиков, живут очень умные инопланетяне. Они ничего не знают про магнитное поле, зато имеют страсть ко всякой оптике. Один из них, Амреф, додумался до того, что лучи света распространяются так, что время прохождения луча из начальной точки в конечную экстремально. Уравнение распространения луча находилось как минимум функционала

$$ t=\int_{r_1}^{r_2}n(x,y,z)ds=\min$$

После простых преобразований у него получилось
\begin{align*} t=&\int_{r_1}^{r_2}L(x,y,z)dz\\ L=&n(x,y,z)\sqrt{1+x'^2+y'^2} \end{align*}

Знаменитый инопланетянин Жанрагал давно додумался как решить такое и со своим приятелем Релэйем они развлекали друзей подобными простыми головоломками, но наш Амреф вспомнил про известного фрика Нотлимага, который по пьяни рассказывал всем, как надо писать уравнения механики. Истинные механики во главе с непревзойденным Нотюном в конце концов сплавили его в психушку, но какой-то след в центральном нервном узле Амрефа его пьяный бред оставил. Посему наш Амреф, следуя заветам старого алкоголика, ввел обобщенные импульсы

$$\begin{align} p_x&=\frac{\partial L}{\partial x'}\\ p_y&=\frac{\partial L}{\partial y'} \end{align}$$

и написал функцию Нотлимага

$$ H=p_x x'+p_y y' - L$$

В результате у него получилось

$$\begin{equation}\label{H} H=-\sqrt{n^2-p_x^2-p_y^2} \end{equation}$$

Тут он вспомнил другого знаменитого фрика. Стараниями всемудрейшего Нотюна от него не осталось даже имени, только прозвище -- Однокамешков. Тот утверждал, что механика Нотюна верна только если в универсе нет предельной скорости, а если она есть, то энергия одного свободно летящего камешка будет

$$E=c\sqrt{m^2c^2+p_x^2+p_y^2+p_z^2},$$

и только когда импульсы малы по сравнению с $mc$ получится механика Нотюна. После этого он благоразумно смылся, и с тех пор его ищут. Наш герой решил проверить, что будет, если разложить $H$ при малых $p,$ и к своему удивлению получил (по дороге он представил $n(x,y,z)=n_0+\Delta n(x,y,z)$ и посчитал $\Delta n(x,y,z)$ малым)

$$H=\frac{p_x^2+p_y^2}{2n_0}-n.$$

Тут наш герой вспомнил собутыльника Нотлимага -- Ибока, с которым они как-то по пьяни написали уравнение, смысл которого так и остался загадочным, поскольку наутро ни кто из них не мог вспомнить что же такое было $S$ и что с ним надо делать.

$$\frac{\partial S}{\partial t}+H(x,y,z,\frac{\partial S}{\partial x},\frac{\partial S}{\partial y},\frac{\partial S}{\partial z})=0.$$

Наш герой, хлопнув стакан перебродившего сока местного кактуса, решил написать что-то подобное

$$\begin{align*} \frac{\partial S}{\partial z}&=-H(x,y,\frac{\partial S}{\partial x},\frac{\partial S}{\partial y})\\ H&=-\sqrt{n^2-p_x^2-p_y^2}\\ \left( \frac{\partial S}{\partial z}\right)^2&=n^2-\left( \frac{\partial S}{\partial x}\right)^2-\left( \frac{\partial S}{\partial y}\right)^2\\ \left( \nabla S\right)^2&=n^2 \end{align*}$$

Тут он, благодаря благотворному воздействию кактуса на нервный узел, сообразил, что $S$ это поверхность, перпендикулярная световым лучам, проверил, что из этого уравнения получается вся оптика и на радостях дерябнул еще стакан. Кактус добрался аж до дополнительного нервного узла, обычно мирно спящего, и Амрефа понесло.

Он вспомнил таинственный опыт по пропусканию света через узкую щель, когда вместо одной полоски получалась картина из светлых и темных полос, совершенно необъяснимая доступной наукой. Пробудившийся дополнительный узел совершенно завладел Амрефом и его рука сама написала

$$\begin{align*} p_x&=-ik\frac{\partial }{\partial x}\\ p_y&=-ik\frac{\partial }{\partial y}\\ H&=ik\frac{\partial }{\partial z} \end{align*}$$

"Волновую функцию вводить надо'', -- пробурчал откуда-то из глубины нервный узел, о существовании которого Амреф никогда не подозревал. "Рано!'', -- сказал еще кто-то проснувшийся. У нас теория релятивистская, надо писать

$$H^2=-k^2\frac{\partial^2 }{\partial z^2}.$$

- Как скажешь, тогда получается

$$\nabla^2\Psi+\frac{n^2}{k^2}\Psi=0$$

- Отлично! Осталось понять, чего это мы такое сосчитали.
- Тоже мне, бином Нотюна! $|\Psi|^2$ -- это плотность вероятности прохождения луча через единичную площадку в плоскости $XY,$ расположенную в точке $z,$ а просто $\Psi$ никакого физического смысла не имеет. Дифракцию получили, пошли спать.
- Сейчас, только запишем и мудрейшим на рассмотрение пошлем!
- Может ну их?
Пропищал пугливый периферийный узел, но его ни кто не слушал.

Проспавшись, Амреф обнаружил себя в темном помещении привязанным за все восемь конечностей.
- Ну, что, доизобретался?
Услышал он голос соседа, подозрительно похожий на голос Нотлимага.
- Да ты не расстраивайся, скоро Однокамешков сюда с бухлом телепортируется. Втроем мы еще чего-нибудь замутим.

Мораль: может и мы какого магнитного поля не знаем?

[ozheredov]

(amon)

amon в сообщении #1579903 писал(а):

Один из них, Амреф, додумался до того,

что вначале надо доказывать для $n=3$