Элементарная теория вероятностей

[ihq.pl]

В задачнике Ширяева есть следующая задача. В $m$ ячеек независимым образом бросаются $n$ дробинок. Для каждой дробинки вероятность попадания в каждую конкретную ячейку равна $1/m$. Найти мат. ожидание числа непустых ячеек.

И там же дано решение. Если знаешь, что вероятность попадания всех дробинок в одну ячейку равно $(1/m)^n$ и, соответственно, вероятность того, что в ячейку не попадет ни одной дробинки, равна $(1-1/m)^n$, то задача решается в одну строчку. А если не знаешь? Лично передо мной сразу встал этот вопрос и стоял столбом до тех пор, пока я не выяснил, что ответить на него можно в рамках вероятностной модели для "случайного размещения различимых дробинок без запрета (нескольким дробинкам разрешено попадать в одну ячейку)". Если что, интуитивно я понимаю, что вероятность события "все дробинки попали в одну ячейку" равна произведению вероятностей $1/m$. Но хочется ж, чтобы всё было по науке. Есть ли способ решить этот вопрос как-нибудь без того, чтобы сначала определять тип вероятностной модели, потом в рамках этой модели искать вероятность события и т.д.?

[svv]

ihq.pl в сообщении #1579747 писал(а):

Лично передо мной сразу встал этот вопрос и стоял столбом до тех пор, пока я не выяснил, что ответить на него можно в рамках вероятностной модели для "случайного размещения различимых дробинок без запрета (нескольким дробинкам разрешено попадать в одну ячейку)".

Допустим, запрещено попадание двух дробинок в одну ячейку. Вероятность попадания очередной дробинки в некоторую ячейку равна нулю, если одна из предыдущих дробинок уже попала в эту ячейку, и не равна нулю в противном случае. Это означает, что результаты бросаний дробинок не независимы — вопреки условию.

А для независимых бросаний вероятность попадания $k$ дробинок в заранее выбранную ячейку равна произведению вероятностей попасть туда для каждой из $k$ дробинок. Каждая из этих вероятностей по условию равна $1/m$.

[ihq.pl]

svv в сообщении #1579829 писал(а):

А для независимых бросаний вероятность попадания $k$ дробинок в заранее выбранную ячейку равна произведению вероятностей попасть туда для каждой из $k$ дробинок. Каждая из этих вероятностей по условию равна $1/m$.

Не совсем так. Модель, в рамках которой решается задача, подразумевает различимость дробинок, т.е. играет роль то, на каком шаге попала дробинка в одну из ячеек. В модели "размещение неразличимых дробинок без запрета" вероятность попадания всех дробинок в одну ячейку будет уже другой, $1/C_{m+n-1}^n$, если не ошибаюсь. Можно ли в этом случае сказать, что дробинки бросаются независимым образом? Ну, я бы сказал, что можно.

[Doctor Boom]

Достаточно умножить число ячеек на вероятность одной ячейки быть непустой. И да, события ячейка пуста/полна не являются независимыми (т.к. у нас например не могут все ячейки оказаться пустыми), но матожидания складываются и для зависимых событий.

[мат-ламер]

ihq.pl в сообщении #1579747 писал(а):

Если знаешь, что вероятность попадания всех дробинок в одну ячейку равно $(1/m)^n$ и, соответственно, вероятность того, что в ячейку не попадет ни одной дробинки, равна $(1-1/m)^n$, то задача решается в одну строчку. А если не знаешь?

Если не знаешь, то думаю, что до этого можно догадаться в процессе решения задачи. Не сильно заумная штука. (Однако, для кого как).

ihq.pl в сообщении #1579747 писал(а):

Если знаешь, что вероятность попадания всех дробинок в одну ячейку равно $(1/m)^n$

Вроде как это вообще не нужно.

ihq.pl в сообщении #1579747 писал(а):

Но хочется ж, чтобы всё было по науке.

Это как? Не используя никаких вероятностных моделей?

-- Чт фев 02, 2023 13:46:36 --

ihq.pl в сообщении #1579747 писал(а):

Есть ли способ решить этот вопрос как-нибудь без того, чтобы сначала определять тип вероятностной модели,

Можно сообразить, что тут что-то похожее на схему Бернулли. Но есть важный нюанс - события зависимые. Но на вычисление матожидания это не сказывается (как уже было сказано).

[ihq.pl]

мат-ламер в сообщении #1579864 писал(а):

Если не знаешь, то думаю, что до этого можно догадаться в процессе решения задачи. Не сильно заумная штука. (Однако, для кого как).

Вероятность попадания всех дробинок в одну ячейку не всегда $(1/m)^n$. В модели, где дробинки неразличимы, она другая. Как из условия задачи понять, что это - именно модель размещения различимых дробинок?

мат-ламер в сообщении #1579864 писал(а):

Можно сообразить, что тут что-то похожее на схему Бернулли. Но есть важный нюанс - события зависимые

Нюанс, думаю, настолько важен, что про схему Бернули можно сразу забыть

[мат-ламер]

ihq.pl в сообщении #1579747 писал(а):

В задачнике Ширяева есть следующая задача.

ihq.pl
А какой номер этой задачи? Хочу посмотреть авторское решение.

[ihq.pl]

мат-ламер в сообщении #1579869 писал(а):

А какой номер этой задачи? Хочу посмотреть авторское решение.

Не помню. Первый параграф, то ли 7, то ли 8. Дома могу глянуть..
На всяк случай, решение такое: Пусть $A_i =$ {i-ая ячейка не пуста}. Тогда $\xi = I_{A_1}+...+I_{A_2}$ есть случайная величина, равная количеству непустых ячеек. Потом нужно воспользоваться тем, что $P(A_i) = 1-P(\bar{A}_i)$, где $\bar{A}_i =$ {i-я ячейка пуста}. Дальше ясно... хотя, кому как

[Aritaborian]

Doctor Boom в сообщении #1579858 писал(а):

Достаточно умножить число ячеек на вероятность одной ячейки быть непустой.

Да, я бы так и сделал, сильно опираясь, впрочем, на интуитивные соображения и понимая, что интуиция может врать. Но если бы меня попросили доказать строго, то какие из соображений, уже высказанных в топике, позволят кратчайшим путём найти ответ?

[mihaild]

Aritaborian в сообщении #1579887 писал(а):

Но если бы меня попросили доказать строго, то какие из соображений, уже высказанных в топике, позволят кратчайшим путём найти ответ?

Doctor Boom в сообщении #1579858 писал(а):

матожидания складываются и для зависимых событий

[Aritaborian]

Это соображение я также смог бы привести. Стало быть, в топике просто туману лишнего навели.

[ihq.pl]

Aritaborian в сообщении #1579887 писал(а):

Да, я бы так и сделал

Да, но вопрос в том, как найти вероятность события $A_i$ ={$i$-я ячейка не пуста}. Ясно, что $P(A_i)=1-P(\bar{A}_i)$. В задачнике просто ставят перед фактом, что $P(\bar{A}_i) = (1-1/m)^n$. А почему так, не говорят. Есть две модели размещения дробинок без запрета. В одной дробинки различимы, в другой - нет. Вероятности события "ячейка пуста" в этих моделях разные. Почему, как само собой разумеющееся, выбрали одну из двух этих моделей?

[ihq.pl]

мат-ламер, немного не те координаты дал на задачу. Вот точные: задача 20, §4 Случайные величины и их характеристики, Ширяев, Эрлих, Яськов, Вероятность в теоремах и задачах (с доказательствами и решениями) Книга 1

[svv]

Если Вы находите вероятность попадания всех дробинок в заранее выбранную ячейку, какая разница, перенумерованы они или нет?
В случае успеха они будут попадать туда в том порядке, в котором Вы их бросаете (можете им "на лету" присваивать номера от $1$ до $n$).

[ihq.pl]

svv в сообщении #1579961 писал(а):

Если Вы находите вероятность попадания всех дробинок в заранее выбранную ячейку, какая разница, перенумерованы они или нет?

Так и мне казалось, что никакой. А значение вероятности тем не менее зависит от способа считать её, коих два. Захоти я оценить интересующую вероятность экспериментально, стал бы я нумеровать дробинки. Нет, я бы считал число дробинок в каждой ячейке, и был бы, как выясняется, не прав.