2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 New Year 2023. No.3
Сообщение30.01.2023, 14:08 


01/08/19
95
A sequence $\{a_{n}\}$ is defined recursively as follows:
$a_{n+1}=\left(2+\frac{2}{n}\right)a_{n}-1$.
Compute $a_{1}$ such that a sequence is convergent.

 Профиль  
                  
 
 Re: New Year 2023. No.3
Сообщение30.01.2023, 15:20 


20/04/10
1776
Так вроде просто перейти к пределу.

-- Пн янв 30, 2023 15:22:23 --

А, нужен не предел, а возможный первый элемент. Надо тогда изучать случаи, когда последовательность зацикливается.

 Профиль  
                  
 
 Re: New Year 2023. No.3
Сообщение30.01.2023, 15:36 


18/09/21
1669
Предел понятно 1.
А первый элемент примерно 0.386294361120.
Как точно найти - пока не понятно.

 Профиль  
                  
 
 Re: New Year 2023. No.3
Сообщение30.01.2023, 15:50 


05/09/16
11425
$a_1=\ln(4)-1$

$a_{n+1}=\left(2+\frac{2}{n}\right)a_{n}-1$

$\lim \limits_{n \to \infty} a_n=1$

:mrgreen:

 Профиль  
                  
 
 Re: New Year 2023. No.3
Сообщение31.01.2023, 18:35 


18/09/21
1669
$a_{n+1}=(2+\frac2n)a_n-1=2\frac{n+1}{n}a_n-1$
Hence $a_n= 2^{n-1} n a_1 - 2^{n-2}\frac{n}{2}-2^{n-3}\frac{n}{3}-...-2\frac{n}{n-1}-1$

$\lim a_n=1$
Hence $a_1=\lim (2^{-1}\frac{1}{2}+2^{-2}\frac{1}{3}+...+2^{-n}\frac{1}{n-1}+2^{-n}\frac{1}{n})=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{(k+1)2^k}=$
$=-1+2\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(1/2)^k}{k}=-1-2 \ln \frac12=2\ln 2 - 1$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 5 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group