Спектр. свойства оператора после комплексификации

[_hum_]

Пусть $X$ - компактное метрическое пространство, $B^{[\mathbb{R}]}(X)$ - вещественная банахова алгебра непрерывных функцй на нем, и пусть рассматривается некий линейный ограниченный оператор $A:B^{[\mathbb{R}]}(X)\rightarrow B^{[\mathbb{R}]}(X)$, а также порожденные им операторы вида $A_\varphi = A(e^\varphi\cdot), \varphi\in B^{[\mathbb{R}]}(X)$. Пусть известно, что всякий такой оператор имеет собственное значение $e^{\lambda_\varphi}$, равное спектральному радиусу этого оператора (плюс, ему соответствует единственный собственный вектор $h_\varphi$, и остальной спектр отделен от собственного значения зазором).
Предположим теперь, что производится комплексификация банаховой алгебры до $B^{[\mathbb{C}]}(X)$. Интересует, что можно сказать про спектр операторов теперь. Понятно, что у $A_\varphi$ с $ \varphi \in B^{[\mathbb{R}]}(X)$ добавятся собственные векторы $h_\varphi + i h_\varphi$(и сопряженные) с тем же собственным значением $e^{\lambda_\varphi}$. Но что насчет, например, таких: $A_{i\varphi} = A(e^{i\varphi}\cdot)$? Будет ли для них справедливы те же выводы?
Где про это можно почитать?
Спасибо.