Подъемник

[ShMaxG]

Помогите пожалуйста решить задачу по теормеху, не знаю, где копать:

[Архипов]

Составим уравнение энергий:
$m1*g*H+m2*g*H/2=m1*v^2/2+m2*v^2/8+J2*w^2/2$
Избавимся от угловой скорости
$J2*w^2/2=m2*w^2*4L^2/(12*2)=m*v^2/6$
Результат
$v^2=Hg(2m1+m2)/(m1+m2*(1/4+1/6))$
Подставим $m=P/g$ и выразим скорость через корень от правого выражения.
Энергия центра масс стержней, так как они связаны шарнирами, посчитана упрощенно (половина высоты Н для потенциальной и скорость для кинетической - половина скорости груза). В условии задано количество стержней, но как оно влияет на результат - не знаю.
На рисунке не показано, что середины стержней шарнирно скреплены, но тогда система не сможет сохранить равновесие и завалится набок. А если скрепить их в серединах - кинематически стержни сложатся одновременно и от количества стержней результат не будет зависим.

[Zai]

Кинетическая энергия вертикального движения $m_2
$K=\int_0^H \frac 1 2 \frac {m_2} H (V \frac z H)^2 dz=\frac {m_2V^2} 6
Угловая скорость при $\frac H n<<l
$\omega=\frac V {nL}

[ShMaxG]

Архипов
Преподаватель сказал рассматривать случай, когда середины стержней движутся по прямой. Решение посмотрю вечером.

[Kazak]

Здесь с одной стороны свободное падение тел, а с другой стороны сопротивление от моментов инерции стержней при их вращении. И количество стержней может влиять на закон движения.

[peregoudov]

Задача решается применением закона сохранения энергии, нужно ее (энергию) только правильно записать. ИМХО, задача не по термеху, а вполне для механики первого курса.

[ShMaxG]

Архипов
У Вас

\[ {I_2 } \]

- момент инерции одного стержня, а там их аж 2n штук.

Добавлено спустя 12 минут 55 секунд:

И вообще, почему

\[ l\omega = v \]

? Для разных стрежней разная угловая скорость и линейная скорость их шарниров. Например, для самых верхних срежней место соприкосновения стержней с площадкой движется со скоростью v, а скорость самых нижних равна нулю. Так что от количества стержней сильно зависит.

Добавлено спустя 2 часа 29 минут 2 секунды:

В общем, я решил эту задачу. Ответ сошелся. Для тех, кому интересен ответ, пишу:

\[ v^2 = \frac{{12n^2 g\left( {H_0 - H} \right)\left( {2P_1 + P_2 } \right)}} {{12n^2 P_1 + P_2 \left( {4n^2 - 1 + \frac{{4n^2 l^2 }} {{4n^2 l^2 - H^2 }}} \right)}} \]

[Андрей123]

Пусть $H$-высота груза,$\phi$-угол между стержнем и вертикалью(одинаковый для всех стержней), $R$-длина половины стержня,$v$-скорость груза,$\omega=\phi'$-угловая скорость стержней,$v_i$-скрость центра i-ой пары стержней от груза, $M$-масса груза, $m$-масса стержня,$I$-момент инерции стержня относительно его ц.м..Имеем $H=2nR\cos\phi$. Дифференцируя, находим $v=2nR\omega\sin\phi=2n\omegaR\sqrt{1-(\frac{H}{2nR})^2}$. Выражение для кинетической энергии имеет вид $T=nI\omega^2+m(v_1^2+v_2^2+...+v_n^2)+M\frac{v^2}{2}=nI\omega^2+m((v-\omega R \sin\phi)^2+(v-3\omega R \sin\phi)^2+...+(v-(2n-1)\omega R\sin\phi)^2)+M\frac{v^2}{2}$
Дальше преобразования. Выражение для потенциальной энергии имеет вид $U=MgH+nmgH$. Далее выписываем закон сохранения, учитываем связь между скоростью груза и угловой скоростью стержней и получаем ответ.

Добавлено спустя 4 минуты 43 секунды:

Судя по всему, я уже опоздал.

[Архипов]

Но, все-таки, на рисунке изображен не подъемник. Середины стержней не скреплены шарнирами. Груз просто нельзя ни поднять, ни удержать такой конструкцией.
Что интересно, скорость падения груза оказывается больше скорости его свободного падения.
Подставил массы по 1 кг, длина стержней 1м, Количество стержней 2, Но=0,5 м, ответ $v^2= 2,25*(Ho-h)*g$ .При количестве стержней 10 и Но=5 м ответ такой же. По моей формуле $v^2= 2,11*(Ho-h)*g$
Выводы:
1.Ответ мало зависит от количества стержней.
2. Кинематическая схема не соответствует формулам (груз должен отставать от стержней, так как он только опирается на них и они не могут его тянуть быстрее, чем он сам падает). То есть ответ должен быть $v^2= 2*(Ho-h)*g$
3. Для соответствия формулам количество стержней должно быть кратно 4, так как груз должен опираться на 4 точки, а не на 2 (при условии - стержни посередине скреплены шарнирами, а самые верхние шарниры должны быть связаны горизонтальным полозом с платформой и груз привязан к платформе).

[Андрей123]

Цитата:

Но, все-таки, на рисунке изображен не подъемник. Середины стержней не скреплены шарнирами. Груз просто нельзя ни поднять, ни удержать такой конструкцией.
Что интересно, скорость падения груза оказывается больше скорости его свободного падения.
Подставил массы по 1 кг, длина стержней 1м, Количество стержней 2, Но=0,5 м, ответ $v^2= 2,25*(Ho-h)*g$.При количестве стержней 10 и Но=5 м ответ такой же. По моей формуле $v^2= 2,11*(Ho-h)*g$.

Полученные Вами формулы неверны, т.к. в ответе квадрат скорости зависит от высоты нелинейно.

[Архипов]

Андрей123 в сообщении #157792 писал(а):

Полученные Вами формулы неверны, т.к. в ответе квадрат скорости зависит от высоты нелинейно.

Внимательно посмотрите на рисунок. Может такая конструкция удержать груз на самом деле? Если не может, то про какие формулы мы спорим?
Представьте - удерживаем груз руками., а стержни просто упадут на пол и все. Стержни падают сами по себе, груз - сам по себе.

[Андрей123]

Архипов писал(а):

Андрей123 в сообщении #157792 писал(а):

Полученные Вами формулы неверны, т.к. в ответе квадрат скорости зависит от высоты нелинейно.

Внимательно посмотрите на рисунок. Может такая конструкция удержать груз на самом деле? Если не может, то про какие формулы мы спорим?
Представьте - удерживаем груз руками., а стержни просто упадут на пол и все. Стержни падают сами по себе, груз - сам по себе.

Что касается шарнирного соединения в середине, то надо с Вами согласиться. Я думаю, что это подразумевалось. Если груз держать руками, то стержни, конечно упадут. Но груз на них опирается и падают они вместе. Анализ, проведенный Вами в предыдущем посте неверен из-за указанной ошибки.

[Архипов]

Упростим задачу: "Четыре стержня опираются на пол по углом а к полу. Какова зависимость вертикальной скорости верхних концов стержней при их падении на пол? 1) когда нижние концы соединены шарнирами с полом, 2) когда нижние концы скользят по полу без трения".
Стержни в одинаковых условиях, поэтому можно их объединить в один. Общее уравнение для обоих случаев (h - текущая высота конца стержня, Но - начальная) - $mg(H-h)/2=mv^2/2+Jw^2/2$
1) Преобразуем угл.скорость в линейную скорость центра масс (R - половина длины стержня) $Jw^2/2=mR^2/12=mv^2/12$ Получим зависимость $v^2=hg(1+1/6)$ Вертикальная проекция скорости верхнего конца $V^2=(4*7/6)*(H-h)g(1-h^2/4R^2)$
Cравним эту скорость со скоростью свободного падения груза с той же высоты (Но), - $2g(Ho-h)=(28/6)*(H-h)g(1-h^2/4R^2)$ откуда $h=1,51R$.
Получается, что до h=1,5R груз давит на стержни, а после - груз отстает от верхнего конца стержня.
2) Момент инерции в 4 раза меньше $v^2=hg(1+1/24)$ и высота равных скоростей $h=1,44R$. Эффект - тот же.
Вывод: начиная от h=1,5R, концы жестких стержней опускаются быстрее, чем падает свободный груз. Переходя к исходной задаче - если груз не привязан к концам стержней, то он будет падать преимущественно сам по себе со скоростью - $V^2=2g(Ho-h)$
Возможно, где-то ошибся. Но на то и форум, чтобы кто-то заметил ошибки.

[GraNiNi]

Андрей123 в сообщении #157792 писал(а):

Что интересно, скорость падения груза оказывается больше скорости его свободного падения.

Так может поэтому, башни-близницы (11 сентября) сложились так бысто?

[Андрей123]

GraNiNi писал(а):

Андрей123 в сообщении #157792 писал(а):

Что интересно, скорость падения груза оказывается больше скорости его свободного падения.

Это писал не я. Если груз никак не связан со стержнями, то он будет давить на них, пока
$4n^2+2-\frac{2}{\sin^2\phi}<0$.