Преобразование произведения в сумму

[BalyunovVV]

Собственно я нашел формулу, позволяющую привести произведение определенного вида в сумму (при некоторых ограничениях).

$$\prod\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{x-a_k}=\sum\limits_{k=1}^{n}\left(\prod\limits_{l=1,l\ne k}^{n}\frac{1}{a_k-a_l}\right)\frac{1}{x-a_k} \quad x\ne a_k, a_k\ne a_l \quad (1)$$

Ничего подобного в учебниках я не встречал, разве что для n=2 у Фихтенгольца "Курс дифференциального и интегрального исчисления т2".
Формула полезна, например, при нахождении интегралов, у которых в знаменателе многочлен с некратными корнями. Нашел формулу, рассматривая произведения вида (1) с n=2,3,4,5 и увидев закономерность. Сначала доказать не смог, пробовал подставлять разные случайные числа, получалось верно.
Но вот недавно вдруг получилось доказательство по индукции:
Пусть равенство (1) верно при некотором n.
Рассмотрим равенство (2):

$$\prod\limits_{k=1}^{n+1}\frac{1}{x-a_k}=\sum\limits_{k=1}^{n+1}\left(\prod\limits_{l=1,l\ne k}^{n+1}\frac{1}{a_k-a_l}\right)\frac{1}{x-a_k} \quad (2)$$

Вынесем из под знака суммы слагаемое, где : $k=n+1$

$$\prod\limits_{k=1}^{n+1}\frac{1}{x-a_k}=\sum\limits_{k=1}^{n}\left(\prod\limits_{l=1,l\ne k}^{n+1}\frac{1}{a_k-a_l}\right)\frac{1}{x-a_k}+\left(\prod\limits_{l=1}^{n}\frac{1}{a_{n+1}-a_l}\right)\frac{1}{x-a_{n+1}} \quad (3)$$

Вынесем из под знака произведений сомножители, где $k=n+1$ и $l=n+1$:

$$\left(\prod\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{x-a_k}\right)\frac{1}{x-a_{n+1}}=\sum\limits_{k=1}^{n}\left(\prod\limits_{l=1,l\ne k}^{n}\frac{1}{a_k-a_l}\right)\frac{1}{a_k-a_{n+1}}\frac{1}{x-a_k}+\left(\prod\limits_{l=1}^{n}\frac{1}{a_{n+1}-a_l}\right)\frac{1}{x-a_{n+1}} \quad (4)$$

Домножим обе части на $x-a_{n+1}$:

$$\prod\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{x-a_k}=\sum\limits_{k=1}^{n}\left(\prod\limits_{l=1,l\ne k}^{n}\frac{1}{a_k-a_l}\right)\frac{x-a_{n+1}}{a_k-a_{n+1}}\frac{1}{x-a_k}+\prod\limits_{l=1}^{n}\frac{1}{a_{n+1}-a_l} \quad (5)$$

Из равенства (1) следует:

$$\prod\limits_{l=1}^{n}\frac{1}{a_{n+1}-a_l}=\sum\limits_{k=1}^{n}\left(\prod\limits_{l=1,l\ne k}^{n}\frac{1}{a_k-a_l}\right)\frac{1}{a_{n+1}-a_k}=-\sum\limits_{k=1}^{n}\left(\prod\limits_{l=1,l\ne k}^{n}\frac{1}{a_k-a_l}\right)\frac{1}{a_k-a_{n+1}} \quad (6)$$

Подставим (6) в (5):

$$\prod\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{x-a_k}=\sum\limits_{k=1}^{n}\left(\prod\limits_{l=1,l\ne k}^{n}\frac{1}{a_k-a_l}\right)\frac{x-a_{n+1}}{a_k-a_{n+1}}\frac{1}{x-a_k}-\sum\limits_{k=1}^{n}\left(\prod\limits_{l=1,l\ne k}^{n}\frac{1}{a_k-a_l}\right)\frac{1}{a_k-a_{n+1}} \quad (7)$$

Домножим каждый элемент второй суммы в (7) на $\frac{x-a_k}{x-a_k}$

$$\prod\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{x-a_k}=\sum\limits_{k=1}^{n}\left(\prod\limits_{l=1,l\ne k}^{n}\frac{1}{a_k-a_l}\right)\frac{x-a_{n+1}}{a_k-a_{n+1}}\frac{1}{x-a_k}+\sum\limits_{k=1}^{n}\left(\prod\limits_{l=1,l\ne k}^{n}\frac{1}{a_k-a_l}\right)\frac{a_k-x}{a_k-a_{n+1}}\frac{1}{x-a_k} \quad (8)$$

Объединим обе суммы в одну:

$$\prod\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{x-a_k}=\sum\limits_{k=1}^{n}\left(\prod\limits_{l=1,l\ne k}^{n}\frac{1}{a_k-a_l}\right)\frac{a_k-a_{n+1}}{a_k-a_{n+1}}\frac{1}{x-a_k} \quad (9)$$

Равенство (9) эквивалентно (1), (в пределах допустимых значений и ), следовательно, равенство (2) тоже верно.

Если кто встречал подобную формулу сообщите, если нет тогда авторство остается за мной.

[Combat Zone]

BalyunovVV в сообщении #1579398 писал(а):

Формула полезна, например, при нахождении интегралов, у которых в знаменателе многочлен с некратными корнями.

Это разложение рациональной дроби в сумму простейших в частном случае (когда числитель равен единице). Первокурсников учат получать коэффициенты в таком разложении (когда корни знаменателя различны) методом неопределенных коэффициентов.

$$\prod\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{x-a_k}=\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{A_k}{x-a_k} \quad x\ne a_k, a_k\ne a_l \quad (1)$$

В конкретной задаче нет нужды идти долгим путем: выводить и запоминать общую формулу, а потом в эту формулу подставлять конкретные числовые значения. Поступают проще - ищут значения в каждом случае. Одна из техник такая: для нахождения $A_k$ равенство (1) умножается на $x-a_k$. Получается нечто. И в это нечто подставляется $x=a_k$. Проверьте, это именно то, что у вас.

[Null]

Это просто интерполяционная формула Лагранжа для многочлена $f(x)=1$ в точках $a_1,\dots,a_n$, просто деленная на $\prod\limits_{k=1}^{n}(x-a_k)$