2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Световое пятно на шаре
Сообщение26.01.2023, 16:56 
Аватара пользователя


11/11/22
304
Пусть $(X,\|\cdot\|)$ -- равномерно выпуклое нормированное пространство.
Напомним, что нормированное пространство называется равномерно выпуклым если для любого $\varepsilon>0$ найдется $\delta>0$ такое, что
$$\|x\|=\|y\|=1,\quad\|x-y\|\ge \varepsilon\Longrightarrow \|x+y\|\le 2-\delta.$$

В точке $z,\quad \|z\|>1$ находится источник света. Доказать, что при приближении источника к шару $\{\|x\|\le 1\}$, диаметр светового пятна на поверхности шара стремится к нулю.

-- 26.01.2023, 17:11 --

Чуть более формально, $S$ -- световое пятно на единичном шаре. Доказать:
$$\lim_{\|z\|\searrow 1}\mathrm{diam}\,S=0$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Световое пятно на шаре
Сообщение27.01.2023, 23:56 
Заслуженный участник


23/07/08
10626
Crna Gora

(Оффтоп)

Без скалярного произведения как без рук.

 Профиль  
                  
 
 Re: Световое пятно на шаре
Сообщение28.01.2023, 00:00 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
11536

(Оффтоп)

Лемма Рисса о почти перпендикуляре?

 Профиль  
                  
 
 Re: Световое пятно на шаре
Сообщение29.01.2023, 04:11 
Аватара пользователя


22/07/22

897
krum в сообщении #1578897 писал(а):
, что
$$\|x\|=\|y\|=1,\quad\|x-y\|\ge \varepsilon\Longrightarrow \|x+y\|\le 2-\delta.$$

Тут точно знак неравенства в ту сторону? :roll:

 Профиль  
                  
 
 Re: Световое пятно на шаре
Сообщение29.01.2023, 22:27 
Заслуженный участник


23/07/08
10626
Crna Gora
Точно. Трансформируем:
$|x-y|\geqslant \varepsilon \Longrightarrow |x+y|\leqslant 2-\delta$
$|x-y|\geqslant \varepsilon \Longrightarrow 2-|x+y|\geqslant\delta$
$2-|x+y|<\delta \Longrightarrow |x-y|<\varepsilon$
Т.е. из $|x|=|y|=1$ и $|x+y|\to 2$ следует $|x-y|\to 0$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Световое пятно на шаре
Сообщение31.01.2023, 19:55 
Аватара пользователя


11/11/22
304
Задача элементарная, если что. Никаких содержательных теорем тут нет. Просто формулы переписать.

-- 31.01.2023, 20:04 --

Световым пятном будем называть множество точек $x$ таких, что
$$\|x\|=1,\quad \|tz+(1-t)x\|>1\quad \forall t\in(0,1)$$

-- 31.01.2023, 20:12 --

Очевидно достаточно проверить равенство
$$\lim_{\|z\|\to 1}\|x-z\|=0$$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group