Найти область сходимости

[Mariakh1244]

Здравствуйте, подскажите как решать.
Пыталась сделать по признаку Даламбера но мешает $n^2$
Нужно найти область сходимости ряда $\sum\limits_{n=1}^{\infty}n^n(x+1)^{n^2}$
Если рассмотреть предел по даламеру получается

$$\lim\limits_{n\to\infty}^{}\left\lvert n(x+1)^{2n+1}\right\rvert$$

и что делать с этим я не понимаю

[alisa-lebovski]

Этот предел равен либо нулю, либо бесконечности, в зависимости от $x$.

[Mariakh1244]

alisa-lebovski в сообщении #1578307 писал(а):

Этот предел равен либо нулю, либо бесконечности, в зависимости от $x$.

А что с этим дальше делать? Или тут вообще через Даламбера не получится, может через Коши как-то можно?

[alisa-lebovski]

А в чем проблема? По Даламберу надо сравнить с единицей. Ноль меньше единицы, а бесконечность больше.

[мат-ламер]

Mariakh1244 в сообщении #1578306 писал(а):

Если рассмотреть предел по даламеру получается

$$\lim\limits_{n\to\infty}^{}\left\lvert n(x+1)^{2n+1}\right\rvert$$

Вроде у вас тут две опечатки. Хотя на ответ не влияют, но всё же лучше исправить.

[Mariakh1244]

Нашла ошибку должно получится

$$\lim\limits_{n\to\+\infty}^{}(1+\frac{1}{n})^n(n+1)(x+1)^{2n+1}$$

[мат-ламер]

Mariakh1244 в сообщении #1578310 писал(а):

Или тут вообще через Даламбера не получится, может через Коши как-то можно?

Через Коши получается примерно то же самое. Только показатель степени получается $n$ , что не влияет на ответ.

-- Вс янв 22, 2023 22:26:02 --

Mariakh1244 в сообщении #1578320 писал(а):

Нашла ошибку должно получится

Множитель $e$ появляется, что на ответ не влияет. И фамилию учёного вы неправильно написали. И с маленькой буквы. Всё же классиков надо уважать. Хотя может я тут придираюсь.

-- Вс янв 22, 2023 22:29:38 --

Mariakh1244
Попробуйте подставить в ваш предел конкретные $x$ . Например, $x=1$ или $x=-1 \slash 2$ и посмотреть, что получится. Может это прояснит ситуацию.

[Combat Zone]

Mariakh1244 в сообщении #1578306 писал(а):

Если рассмотреть предел по даламеру получается

$$\lim\limits_{n\to\infty}^{}\left\lvert n(x+1)^{2n+1}\right\rvert$$

и что делать с этим я не понимаю

Это вам ничего не даст. Используйте формулу Коши-Адамара.
Но: нужно обращать внимание, что не при каждой степени коэффициент ненулевой. Радиус сходимости должен получиться 1.

[Combat Zone]

Хотя я напрасно. Так, конечно, тоже можно - достаточно посмотреть, при каких $x$ последовательность сходится.