Подвох теоремы Абеля-Руффини и теории Галуа

[Munuvonaza]

Суть теоремы Абеля-Руффини не вызывает какого-то интуитивного противоречия - нет общей формулы для корней уравнения 5ой и выше степеней, и ладно - нет ничего удивительного в том, что корни многочлена не выражаются универсальным способом через коэффициенты этого уравнения
Однако теория Галуа вдобавок утверждает, что есть уравнения, типа $x^5+6x+3$, для которых вообще нельзя указать конкретные радикалы, представляющие его корни
Мне удалось найти более-менее научпопное доказательство (более строгое изучать не хочется, так как это не академическая или рабочая потребность, а лишь любопытствующий интерес :), но все равно не понятен ключевой аспект, ибо следующие утверждения входят в какое-то интуитивное противоречие:

1) Любое полинаминальное уравнение с алгебраическими коэффициентами имеет алгебраические корни
2) Любое алгебраическое число *по определению* представляет собой конечную линейную комбинацию радикалов, то есть N радикалов, умноженных на рациональные числа и сложенные между собой, как N-мерный вектор
3) Уравнение 5ой степени является алгебраическим, и по определению все его корни - это конечномерная линейная комбинация радикалов

Вопрос мой такой: как может быть, что уравнение $x^5+6x+3$ неразрешимо в радикалах, если его корни это алгебраические числа, которые просто по определению есть линейная комбинация радикалов?
Мне понятно, что формулы может не быть, и именно это и говорит вышеобозначенная теорема
Но если сделать полный перебор по всем конечным линейным комбинациям всех возможных радикалов, а их всего счетное число, то какая-то из них обязана быть исходным корнем уранения
Ведь таким образом мы переберем *все* алгебраические числа, а корень этого уравнения 5ой степени - алгебраическое число

А теория Галуа утверждает, что никакой радикал не подойдет. В чем же подвох, непонятно :(

[lel0lel]

Прочитайте определение алгебраического числа Wikipedia
Там нет утверждения об обязательной представимости через радикалы.

[Munuvonaza]

Спасибо за ссылочку, но даже после пары прочтений какого-то ключевого понимания так и не появилось
Загвоздка в понимании на следующем моменте: изначально рассматриваются исключительно рациональные числа и мнимая единичка, чтобы к примеру, уравнение $x^2 + 4$ имело два честных целых корня
Далее к ним прибавляют определенные радикалы, например $\sqrt 2$, который добавляется как базисный элемент к линейной комбинации, и числа могут иметь вид $a + b \cdot \sqrt 2 + c \cdot i + d \cdot \sqrt 2 \cdot i$
Для каждого добавленного радикала есть минимальная степень уравнения, которое приводит его к рациональному числу, плюс возможно мнимая единичка на множитель, и к расширению поля добавляются все возможные комбинации умножений радикалов
Есть еще обязательное условие, что число добавленных радикалов конечное, т.е. конечное число базисных элементов, по которым строится линейная комбинация
Мне казалось, что это и есть определение алгебраических чисел - все линейные комбинации по всем возможным радикалам, но радикал обязан иметь конечную длину, хотя число вложенных радикалов не лимитируется, лишь бы не бесконечное
И здесь предъявляется уравнение $x^5+6x+3$, корень которого есть алгебраическое число, но при этом не является конечным радикалом
Мне совершенно непонятно, как такое может быть, и что же за число есть его корень - не в приближенном десятичном виде $a + b \cdot i$, а конкретно

[Slav-27]

Munuvonaza в сообщении #1579128 писал(а):

Мне совершенно непонятно, как такое может быть, и что же за число есть его корень - не в приближенном десятичном виде $a + b \cdot i$, а конкретно

А понятно ли, что за число есть $\sqrt 2$, не в приближённом десятичном виде, а конкретно?

[Munuvonaza]

В принципе понятно, у нас есть 5 разрешенных операций, включая сложение, вычитание, умножение, деление и корень N-ой натуральной степени (который к тому же многозначная функция с N значениями)

Число алгебраических чисел счетно, и все числа вышеупомянутого вида, то есть линейные комбинации радикалов, мы тоже можем посчитать вполне конкретным образом, это лишь дело техники (к примеру, представив каждое натуральное число в фибоначиевой системе счисления в перевернутом виде +8, а на младшие 8 чисел забить арифметические операции, скобки приоритета операций и мнимую единичку - или же как Гёдель по степеням простых чисел - не важно, как именно, главное биективно)

И до тех пор, пока упоминаемые алгебраические числа это конечные комбинации из радикалов, в том числе вложенных - картина сходится, каждое алгебраическое число имеет свой порядковый номер, а конечность выражения в радикалах гарантирует счетность

Если же корни многострадального уравнения $x^5+6x+3$ не являются конечными последовательностями радикалов, то возможны две альтернативы
- Это радикалы бесконечные размера. Но тогда количество всех таких чисел несчетно, а значит и алгебраических чисел тоже, что противоречие
- Это не радикалы вообще. Но ведь изначально к полю рациональных чисел добавляли только радикалы с корнями. Никакой трансценденщины

В принципе, исходный вопрос можно переформулировать в следующем ключе - если все корни многочленов с рациональными коэффициентами есть алгебраические числа, а их счетное число, так как их всех КОНСТРУКТИВНО перенумеровать, по типу как все конечные радикалы выше?

Вариант взять коэффициенты исходного полиноминального уравнения плюс номер корня не предлагать, потому что это не конструктивная запись, ибо она не говорит как посчитать число с произвольной конечной точностью за конечное число шагов

[Slav-27]

Munuvonaza в сообщении #1579141 писал(а):

В принципе понятно, у нас есть 5 разрешенных операций

Я предполагал такой ответ: $\sqrt 2$ -- это вещественное число, которое в квадрате равно $2$, то есть корень многочлена $x^2-2$ (точнее говоря, один из двух). Число, которое вам не нравится, отличается заменой многочлена $x^2-2$ на $x^5+6x+3$, не знаю, почему "у вас" это запрещено.

Munuvonaza в сообщении #1579141 писал(а):

как их всех КОНСТРУКТИВНО перенумеровать, по типу как все конечные радикалы выше?

Вариант взять коэффициенты исходного полиноминального уравнения плюс номер корня не предлагать

Именно так и можно перенумеровать, и число с заданным номером можно будет вычислить с произвольной точностью, потому что корни любого алгебраического уравнения с рациональными коэффициентами можно вычислить с произвольной точностью.

Munuvonaza в сообщении #1579141 писал(а):

Но ведь изначально к полю рациональных чисел добавляли только радикалы с корнями. Никакой трансценденщины

Просто чисел, которые представимы в радикалах, меньше, чем алгебраических, это общепринятая терминология. Если алгебраические вам не нравятся, занимайтесь представимыми в радикалах. Или не рациональными числами, а $p$-адическими рациональными, там все алгебраические действительно выражаются через радикалы.

[mihaild]

Munuvonaza в сообщении #1579128 писал(а):

Мне казалось, что это и есть определение алгебраических чисел - все линейные комбинации по всем возможным радикалам, но радикал обязан иметь конечную длину, хотя число вложенных радикалов не лимитируется, лишь бы не бесконечное

Вам просто казалось неправильно. Бывает, ничего страшного. Только не надо за это цепляться.

Munuvonaza в сообщении #1579141 писал(а):

Вариант взять коэффициенты исходного полиноминального уравнения плюс номер корня не предлагать, потому что это не конструктивная запись, ибо она не говорит как посчитать число с произвольной конечной точностью за конечное число шагов

И чем не конструктивная? https://en.wikipedia.org/wiki/Polynomia ... algorithms

[Munuvonaza]

Slav-27

Не уверен в правильности термина, но вроде есть такое понятие, как замкнутая форма - числа $42$, $\sqrt 10 + 4 \cdot i$ это замнкутая форма, а число типа $RootOfEquation(x^5+6x+3)$ не очень похоже на замкнутую форму
Хотелось бы нумерации именно замкнутых форм, то есть конечных формул, выражающих корни через базовый набор операций

То есть именно конечного размера формулы, над которыми можно производить символические вычисления
К примеру, возьмем вышепредложенную нумерацию радикалов и уравнение 4-ой степени, и отсортируем его корни по возрастанию. Каждый корень имеет свой натуральный счетный номер. Затем перемножим последний корень и предпоследний, получим формулу какого-то числа в виде радикала, и сразу же узнаем его натуральный номер

Та же нумерация, которая предлагается по умолчанию для алгебраических чисел, на основе коэффициентов их многочленов, в этом плане бесполезна - если есть посдедний и предпоследний корень уравнения 5-ой степени, то как за КОНЕЧНОЕ число действий получить натуральный номер числа, являющийся их произведением?
Вычислить бесконечное число знаков условным методом Ньютона нельзя, так как это бесконечное число операций. Если же округлить, то никакого настоящего номера мы не получим

-- 28.01.2023, 01:58 --

mihaild

Да, действительно, конструктивная. Не совсем эту мысль хотел донести. Имел в виду замкнутую формулу или что-то в этом ключе

[Slav-27]

Munuvonaza в сообщении #1579146 писал(а):

выражающих корни через базовый набор операций

Можно добавить в список базовых по $d$ операций для каждого многочлена степени $d$. Конечно, это избыточно, можно меньше, но многочленов $x^m-a$ всё-таки недостаточно.

Munuvonaza в сообщении #1579146 писал(а):

как за КОНЕЧНОЕ число действий получить натуральный номер числа, являющийся их произведением

Сначала вычисляем, корнем какого многочлена он является (через результанты), а потом ищем нужный среди его корней.

[Munuvonaza]

О, это уже интересно и похоже то, что нужно! То есть в дополнение к обычному корню N-ой степени, добавляется что-то вроде гиперкорня, который не только многозначный, но и еще представлен в виде N разновидностей?

Можно на примере конкретного уравнения 5-ой степени $x^5+6x+3$ ? Как конкретно выразить его корни через дополнительные операции (гиперкорни), и как выразить произведение последнего (наибольшего) и предпоследнего корней в виде символической формулы через условные гиперкорни?

[lel0lel]

Slav-27 в сообщении #1579148 писал(а):

Сначала вычисляем, корнем какого многочлена он является (через результанты), а потом ищем нужный среди его корней.

А не удобнее составить полином с корнями, равными различным попарным произведениям исходных корней. Коэффициенты будут симметричными полиномами, то есть будут выражаться через коэффициенты исходного полинома.

[Slav-27]

Munuvonaza в сообщении #1579150 писал(а):

О, это уже интересно и похоже то, что нужно!

Но я ничего нетривиального не сказал. Вы можете занумеровать корни всех многочленов (напнимер, по возрастанию модуля, а одинакового модуля по возрастанию аргумента) и обозначать $k$-й корень многочлена $x^5+ax^4+bx^3+cx^2+dx-e$ знаком, например, ${}_{a,b,c,d;k}\sqrt[5]{e}$, и так далее, в этом нет ничего интересного. Для вычисления произведения есть алгоритм, но нет красивой формулы.

-- 28.01.2023, 02:30 --

lel0lel в сообщении #1579152 писал(а):

А не удобнее составить полином с корнями, равными различным попарным произведениям исходных корней.

Я это и имел в виду.

[Munuvonaza]

Интересно! Произведение двух наибольших корней это просто пример, имеется в виду любая функция с замкнутой формулой относительно ее апгументов. Или в теоретико-множественном смысле, на входе номера алгебраических чисел, и на выходе номер, и за конечное число шагов

С этим в принципе все понятно, особенно на примере с гиперкорнями. Но ведь все-таки остается проблема в том, что с таким подходом получается бесконечное количество элементарных операций, у которых к тому же вариативная и растущая арность

Есть ли какой-нибудь способ обойтись конечным элементарным числом операций с фиксированной арностью? Подойдет ли какой-нибудь условный четырехместный аналог корня Бринга $Br(D,A,B,K)$, который является K-ым по возрастанию корнем уравнения $x^D + A \cdot x + B$ ?

[Slav-27]

Munuvonaza в сообщении #1579156 писал(а):

Есть ли какой-нибудь способ обойтись конечным элементарным числом операций с фиксированной арностью?

Занумеровываете $\mathbb Q^{\mathbb N}\leftrightarrow\mathbb N$, и привет.

[mihaild]

Munuvonaza в сообщении #1579146 писал(а):

Имел в виду замкнутую формулу или что-то в этом ключе

Чтобы говорить о замкнутых формулах, нужно всегда указывать, какие базовые формулы у нас есть.
Если у нас есть сложение, умножение и радикалы - то через них выразить не получится. Но это не то чтобы чем-то важным выделяющийся список операций.

Munuvonaza в сообщении #1579156 писал(а):

Есть ли какой-нибудь способ обойтись конечным элементарным числом операций с фиксированной арностью?

Можно ввести операцию $f(n, m)$ - $n$-й корень $m$-го многочлена. При большом желании два аргумента можно вычислимо собрать в один.