Топология, инвариантная относительно сдвигов

[AD]

Вопросик про существование определений.

Вот у нас* имеется линейное пространство $L$, состоящее из некоторых функций $f:T\to\mathbb{R}$ **, и на пространстве этом введена некая локально-выпуклая топология***.

В каком случае вы бы сказали, что топология этого пространства "инвариантна относительно сдвигов" $T$ (то есть движений $T$ вдоль себя)?

Ну то есть все функции вида $\{f_a:x\mapsto f(x+a)\}_{a\in T}$ должны быть в некотором смысле равноправны.

В случае нормированного пространства всё понятно - просто у всех $f_a$ должны быть одинаковые нормы. Это меня устраивает. А если, скажем, посмотреть на топологию поточечной сходимости ... Ну она задается известной системой преднорм, каждая из которых жутко неинвариантна относительно сдвигов, но в целом всё хорошо получается, гладенько.

В-общем, можно я сначала послушаю, что по этой теме есть, а потом, если понадобится, уточню глубже, что именно мне нужно? Для чистоты эксперимента

_________________
* предчувствую ответный выпад: "не у нас, а у вас ..."
** где $T$ - окружность, рассматриваемая как группа $\mathbb{R}/\mathbb{Z}$; впрочем, интересен ответ и для $T=\mathbb{R}$;
*** некоторые почему-то сразу требуют, что локально-выпуклое пространство обязано быть хаусдорфовым. Я этого не требую - скажем, интересны также пространства, состоящие из функций, определенных почти всюду.

[zoo]

AD в сообщении #157432 писал(а):

В каком случае вы бы сказали, что топология этого пространства "инвариантна относительно сдвигов"

сдвиг является линейным гомеоморфизмом, устроит?

[Brukvalub]

AD в сообщении #157432 писал(а):

В каком случае вы бы сказали, что топология этого пространства "инвариантна относительно сдвигов" $T$ (то есть движений $T$ вдоль себя)?

Сдвиг открытого множества - открытое множество?

[zoo]

Brukvalub в сообщении #157452 писал(а):

Сдвиг открытого множества - открытое множество?

поскольку оператор сдвига имеет обратный, то Ваше определение означает, что этот обратный непрерывен, а значит , в случае пространства Фреше, непрерывен и исходный. Следовательно, в случае пространства Фреше, Ваше определение эквивалентно моему.

[AD]

Спасибо за ответы! Подумаю, хватит ли мне этого; параллельно послушаю другие идеи.

Сам я думал, что можно как-то в терминах сходимости думать (типа если сдвинутая направленность сходится так же, как и исходная; думаю, это эквивалентно вышесказанному), или в терминах преднорм, задающих топологию (для каждой величины сдвига $a$ задана биекция $\phi_a:\Lambda\to\Lambda$ системы $\{\|\cdot\|_\lambda\}_{\lambda\in\Lambda}$ преднорм на себя, и типа $\|f_a\|_{\phi_a(\lambda)}=\|f\|_\lambda$, или что-то в этом роде; муть какая-то, но это мне ближе).

[id]

Мне лично при словосочетании "топология инвариантная относительно сдвигов" вспоминается прежде всего то, что

Топология $\mathfrak{T}$ на векторном пространстве $L$ над основным полем $\mathbb{F}$ удовеятворяет аксиомам
(I) $L \times L \to L: (x,y) \to x+y$ непрерывно
(II) $\mathbb{F} \times L \to L: (\lambda ,x) \to \lambda x$ непрерывно
тогда и только тогда, когда $\mathfrak{T}$ инвариантна относительно сдвинов и имеет базис $\mathfrak{B}$ окрестностей нуля
(a) $\forall V \in \mathfrak{B} \exists U \in \mathfrak{B}: U+U \subset V $
(b) $\forall V \in \mathfrak{B}: V - $ радиально и закгруглено

При этом всякая локально-выпуклая топология может быть задана выбором базиса фильтра $\mathfrak{B}$ в $L$, состоящего из радиальных выпуклых закругленных множеств таких, что $V \in \mathfrak{B} \Rightarrow \frac 1 2 V \in \mathfrak{B}$
Аналитически такая топология, как и было сказано, определяется семейством преднорм.

То же самое, в общем-то, что написал и zoo.

Добавлено спустя 3 минуты 48 секунд:

Если рассматривается только аддитивная абелева группа сложения элементов линейного пространства, то, быть может, следует и искать интересующие определения/теоремы именно в литературе по топологическим группам, а не топологическим векторным пространствам. Хотя... если нужна локально выпуклая топология, нужны именно ТВП.

[AD]

id, чего-то я не понял, к чему вы это. Меня все-таки интересуют пространства функций на группах, и сдвиги понимаются тоже вот этой группы как области определения функций (то есть замены переменной $x\mapsto x+a$ не должны существенно влиять на топологию пространства функций).
_________________

Ну ладно, ну вот смотрите. Вот у нас была такая благополучно загнувшаяся темка про сходимость почти всюду рядов вида
$\sum\limits_{k=1}^\infty c_kf(x-x_k)$, где $\sum\limits_{k=1}^\infty|c_k|<\infty$
(в принципе, имеющихся в той теме результатов мне почти наверняка должно хватить, а жаль: интересно было бы добить проблему).

Теперь если функция $f$ принадлежит некоторому банахову пространству, в котором норма инвариантна относительно сдвигов, то такой ряд заведомо будет сходиться по этой норме абсолютно.

А пусть теперь мы знаем, что $f$ принадлежит некоторому (скажем, полному) локально-выпуклому пространству. Какие бы такие на него (пространство) требования наложить, что бы такие ряды тоже заведомо сходились?