2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Оценка параметра в экспоненциальном распределении
Сообщение19.01.2023, 14:39 


07/03/11
690
Пусть $X\sim Exp(\lambda )$, $Y$ -- положительная с.в. с конечной дисперсией, $I\sim \mathcal B(1,p)$ и $Z = X + IY$. Нужно по выборке из $(Z_i, I_i)_{i=1...N}$ оценить параметр $\lambda$.
Можно ли это сделать (и как) в такой формулировке или нужны дополнительные условия?

(Оффтоп)

И тот же вопрос, когда $I := -I$

 Профиль  
                  
 
 Re: Оценка параметра в экспоненциальном распределении
Сообщение20.01.2023, 11:59 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/03/08
9490
Москва
Ну, я бы попробовал так:
$E(Z_i)=E(X_i)+I_i E(Y_i)$
Считаем, что лучше оценить матожидание по единственному наблюдению, кроме как взять значение самого этого наблюдения, не получится, считаем регрессию $Z_i=a+b I_i$, где $a=E(X), b=E(Y)$
А уж зная матожидание иксов, перейти к лямбдам...

 Профиль  
                  
 
 Re: Оценка параметра в экспоненциальном распределении
Сообщение20.01.2023, 13:37 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/04/08
2736
Физтех
Выкиньте из выборки все случаи с $I_i=1$, оставьте только $I_i=0$. Тогда $Z_i=X_i$ и параметр показательного распределения можно оценивать любым известным способом.

В общем случае нужны дополнительные данные. Иначе получается такая постановка задачи: к показательно распределенной случайной величине прибавили что-то, найти интенсивность.

-- Пт янв 20, 2023 13:37:43 --

Евгений Машеров в сообщении #1578038 писал(а):
Ну, я бы попробовал так:
$E(Z_i)=E(X_i)+I_i E(Y_i)$

Глупость какая-то написана.

 Профиль  
                  
 
 Re: Оценка параметра в экспоненциальном распределении
Сообщение20.01.2023, 16:12 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


05/12/09
1760
Москва
ShMaxG в сообщении #1578062 писал(а):
Выкиньте из выборки все случаи с $I_i=1$, оставьте только $I_i=0$. Тогда $Z_i=X_i$ и параметр показательного распределения можно оценивать любым известным способом.
Так теряем много информации. А если единиц очень много, а нулей мало? Я за то, чтобы оценить средние $Y$ и использовать тоже.

 Профиль  
                  
 
 Re: Оценка параметра в экспоненциальном распределении
Сообщение20.01.2023, 16:35 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/04/08
2736
Физтех
alisa-lebovski
Мы не знаем, много или мало мы теряем, топикстартер нам ничего не рассказал, поэтому я за то, что нужно больше информации. Ничего не известно про распределение $Y$, известно ли мат. ожидание и дисперсия, известна ли зависимость $X$, $I$, $Y$ между собой. По условию выборка величины $Y$ не дана, так что оценить ее тоже не понятно как.

 Профиль  
                  
 
 Re: Оценка параметра в экспоненциальном распределении
Сообщение20.01.2023, 17:51 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


05/12/09
1760
Москва
Находим средние $Z$ отдельно при $I=1$ и при $I=0$, вычитаем, так оцениваем среднее $Y$. Далее, берем общее среднее $Z$ и вычитаем из него среднее $Y$, помноженное на среднее $I$, получаем оценку $1/\lambda$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Оценка параметра в экспоненциальном распределении
Сообщение20.01.2023, 18:54 


07/03/11
690
ShMaxG в сообщении #1578092 писал(а):
alisa-lebovski
Мы не знаем, много или мало мы теряем, топикстартер нам ничего не рассказал, поэтому я за то, что нужно больше информации. Ничего не известно про распределение $Y$, известно ли мат. ожидание и дисперсия, известна ли зависимость $X$, $I$, $Y$ между собой. По условию выборка величины $Y$ не дана, так что оценить ее тоже не понятно как.

Прошу прощения :oops: Про $Y$ действительно мало что известно, кроме того, что он положителен. Все $X, Y, I$ -- независимы. На практике $Y << X$, а также $\mathbb V Y << \mathbb V X$.
alisa-lebovski в сообщении #1578098 писал(а):
Находим средние $Z$ отдельно при $I=1$ и при $I=0$, вычитаем, так оцениваем среднее $Y$. Далее, берем общее среднее $Z$ и вычитаем из него среднее $Y$, помноженное на среднее $I$, получаем оценку $1/\lambda$.

У меня получается эта оценка равна оценке по только по $I_i=0$

(Оффтоп)

$$\mathbb EX = \mathbb E Z - \mathbb E I \mathbb E Y$$
Пусть $I_1=0, ..., I_n=0, I_{n+1}=1,..., I_{n+m}=1$, тогда
$$\frac{1}{n+m}\sum _{i=1}^{n+m}Z_i - \frac {m}{n+m}\left [ \frac 1m \sum _{i=n+1}^{n+m}Z_i - \frac 1n \sum _{i=1}^n Z_i\right ] = \frac 1n\sum _{i=1}^n Z_i$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Оценка параметра в экспоненциальном распределении
Сообщение20.01.2023, 19:48 
Аватара пользователя


22/07/22

897
vlad_light в сообщении #1577911 писал(а):
Нужно по выборке из $(Z_i, I_i)_{i=1...N}$ оценить параметр $\lambda$.

Байесовское уточнение? Там же просто все будет, и максимально точно

-- 20.01.2023, 19:49 --

vlad_light в сообщении #1578113 писал(а):
Про $Y$ действительно мало что известно, кроме того, что он положителен

Он неизвестен? Тогда задача усложняется :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Оценка параметра в экспоненциальном распределении
Сообщение20.01.2023, 20:48 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


05/12/09
1760
Москва
vlad_light в сообщении #1578113 писал(а):
У меня получается эта оценка равна оценке по только по $I_i=0$
Да, забавно получилось.

 Профиль  
                  
 
 Re: Оценка параметра в экспоненциальном распределении
Сообщение20.01.2023, 23:07 
Аватара пользователя


22/07/22

897
alisa-lebovski в сообщении #1578098 писал(а):
Находим средние $Z$ отдельно при $I=1$ и при $I=0$, вычитаем, так оцениваем среднее $Y$. Далее, берем общее среднее $Z$ и вычитаем из него среднее $Y$, помноженное на среднее $I$, получаем оценку $1/\lambda$.

Это что-то типа, имеем $x, z$, далее $z-x=y$, далее находим $x=z-y$ :mrgreen:

 Профиль  
                  
 
 Re: Оценка параметра в экспоненциальном распределении
Сообщение21.01.2023, 23:14 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/03/08
9490
Москва
Аккуратнее изложу свою идею.
$E(Z|I=I_i)=E(X)+I_iE(Y|I=I_i)$
И тогда имела бы смысл регрессия Z на $I_i$, а коэффициенты регрессии были бы соответствующие матожидания.
Но, увы, я сослепу решил, что там для I биномиальное распределение. А поскольку Бернулли - то ничего лучше расчёта только по тем значениям, где $I_i=0$, не получается. Если бы I принимало много значений - то так можно было бы оценить $E(y)$, как мешающий параметр, вычесть его и тем самым увеличить выборку за счёт наблюдений с $I_i\ne 0$

 Профиль  
                  
 
 Re: Оценка параметра в экспоненциальном распределении
Сообщение22.01.2023, 02:20 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/04/08
2736
Физтех
Евгений Машеров
То есть, как я понимаю, регрессионный подход в данном случае (независимость + Бернулли) говорит игнорировать значения $I_i=1$. Прямая регрессии будет проведена через две точки -- средние $Z$ для $I=0$ и средние $Z$ для $I=1$. Но мат. ожидание $X$ это как раз значение прямой в $I=0$, а это и есть значение среднего $Z$ для $I=0$. А вот если бы была еще точка, скажем, $I=2$, то прямая регрессии могла бы пройти как-то иначе, оценка среднего $Y$ была бы полезной. Или если бы было $I\in\{1,2\}$ без $I=0$, то распределение $Y$ снова нужно было бы учитывать. С другой стороны, если $Y$, как говорит топикстартер, это малая величина с малой дисперсией, то ошибки оценки среднего могли бы забить среднее $Y$, этот наклон мы бы не почувствовали и провели бы прямую слишком косо. Так что хорошо сложилась ситуация с этим Бернулли.

 Профиль  
                  
 
 Re: Оценка параметра в экспоненциальном распределении
Сообщение22.01.2023, 07:45 
Аватара пользователя


22/07/22

897
Евгений Машеров
ShMaxG
А что, если мы немного дополним задачу знанием $E(Y)$ и $D[Y]$? У меня вышло вот что.
Предварительно:если мы суммируем $Z$, , то $I_i=1$, если $X$, то $I_i=0$. $m+n=N$.
$E(X)=\frac{\sum_{i=1}^{m} X_i}{m}+\frac{n\frac{(\sum_{i=1}^{m} X_i)^2}{m^2}}{(m+n)\frac{(\sum_{i=1}^{n}Z_i-nE(Y))^2}{n^2}+mD(Y)}(\frac{\sum_{i=1}^{n} Z_i-nE(Y)}{n}-\frac{\sum_{i=1}^{m} X_i}{m}){$

 Профиль  
                  
 
 Re: Оценка параметра в экспоненциальном распределении
Сообщение22.01.2023, 10:25 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


05/12/09
1760
Москва
По-моему, тема исчерпана.

 Профиль  
                  
 
 Re: Оценка параметра в экспоненциальном распределении
Сообщение22.01.2023, 11:34 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/03/08
9490
Москва
А я было разогнался написать программку и численно промоделировать оценки, для сравнения. Но, наконец, догадался, что B это Bernoulli, а не Binomial. Если бы $I_i$ принимали бы значения не {0,1}, а, скажем, {1,2} или {-1,1}, то можно было бы составить пару уравнений и оценить матожидания по ним. Тогда бы наличие ""второго варианта" заиграло. Но у нас упрощение, матрица уравнений треугольная, и один икс оценивается сразу, а второй и оценивать не надо, он "мешающий параметр".

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 16 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group