Неподвижная точка.

[krum]

Через $M\subset\mathbb{R}^m$ обозначим замкнутое множество, лежащее вне шара $B=\{|x|\le 1\},\quad M\cap B=\emptyset$, где $|\cdot|$ -- стандартная евклидова норма.

Отображение $F:M\to M$ обладает следующим свойством. Если $F(x)\ne x$ то найдется $t>1$ такое, что $x+t(F(x)-x)\in B$.

Доказать, что $F$ имеет неподвижную точку.

[Padawan]

Ближайшая к $B$ точка множества $M$ должна быть неподвижной, иначе условие $x+t(F(x)-x)\in B$ при $t>1$ не выполняется.

[svv]

Допустим, неподвижной точки нет. Тогда для любого $x\in M$

krum в сообщении #1577931 писал(а):

найдется $t>1$ такое, что $x+t(F(x)-x)\in B$

или, эквивалентно, найдётся $z\in B$ и число $p\in(0;1)$ такие, что $f(x)=(1-p)x+pz$.
Из неравенства треугольника
$|f(x)|\leqslant (1-p)|x|+p|z|<(1-p)|x|+p|x|=|x|$
Итак, $|f(x)|<|x|$.

Пусть $a$ — инфимум нормы элементов $M$. Поскольку $M$ замкнуто, инфимум на нём достигается, т.е. существует $x\in M: |x|=a$. Тогда $|f(x)|<a$, хотя $f(x)\in M$. Противоречие.

[krum]

Да, да, конечно. А что если мы заменим $\mathbb{R}^m$ произвольным банаховым пространством

-- 20.01.2023, 13:29 --

и добавим, что $\inf\{\|z\|:z\in M\}>1$

[mihaild]

Кажется что вопрос эквивалентен тому, обязательно ли у последовательности $x, f(x), f(f(x)), \ldots$ существует предельная точка.
Если нет - то возьмем эту последовательность в качестве $M$, получили контрпример.
Если да - то возьмем эту последовательность, повторим процедуру еще раз, начав с предельной точки, потом еще - на каком-то счетном ординале дойдем до неподвижной точки (потому что нормы убывают, а несчетные ординалы в $\mathbb R$ не вкладываются).

[krum]

Как-то так. Частично упорядочим множество $M:$
$x<y\Longleftrightarrow x=y,$ либо существует $t>1$ такое, что
$x+t(y-x)\in B.$
По условию задачи, имеем $x<F(x),\quad \forall x\in M.$ Дальше, понятное дело, ищем максимальный элемент в $M$; проверяем условия леммы Цорна. Пусть $C\subset M$ -- цепь и
$\rho=\inf\{\|x\|\,\mid x\in C\},\quad \rho>1.$
Пусть $K_x=\{y\in M\mid y>x,\quad \|y\|\ge \rho\},\quad x\in C.$
Очевидно, $x_1<x_2\Longrightarrow K_{x_2}\subset K_{x_1}$;
Надо проверить, что $K_x$ -- замкнуто и

$$\lim_{x\in C}\mathrm{diam}\,K_x=0.$$

Тогда $\sup C=\bigcap_{x\in C} K_x.$

[mihaild]

Условие $x + t(y - x) \in B$ можно переписать: $y$ принадлежит выпуклой оболочке $B \cup \{x\}$. К сожалению даже на выпуклом замкнутом множестве минимум достягаться не обязан (и плюс $M$ не обязано быть выпуклым), поэтому не факт, что это полезно.

krum в сообщении #1578319 писал(а):

$x<y\Longleftrightarrow x=y,$ либо существует $t>1$ такое, что $x+t(y-x)\in B.$

Зато хотя бы из выпуклости понятно, что это отношение транзитивно.

krum, а Вы знаете решение для случая с банаховым пространством? (задача мне нравится, просто если решения никто не знает то это в ПРР)

[krum]

вообще-то я уже написал решение, но Вы его, похоже, не прочитали

[mihaild]

(Оффтоп)

Поскольку я процитировал и прокомментировал часть Вашего сообщения, то я его, очевидно, прочитал. Поскольку я после этого спросил, знаете ли Вы доказательство, то я, очевидно, не счел Ваш пост ни доказательством, ни даже утверждением, что Вы доказательство знаете. По той причине, что там написано "надо проверить" и дальше два утверждения, которые как минимум с прочтения мне не очевидны. Такая формулировка может быть как когда знающий решение человек дает подсказку, так и когда не знающий решения человек высказывает гипотезу, куда копать. Способа отличить эти ситуации я не знаю.
Раз Вы теперь говорите, что решение знаете, всё хорошо, буду думать, как доказать.

[krum]

подробное решение

(Оффтоп)

https://files.catbox.moe/oeelg4.pdf

[krum]

так, пожалуй, внятней: https://files.catbox.moe/ke4tp2.pdf