2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: Отношение эквивалентности
Сообщение20.01.2023, 13:54 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
8199
Цюрих
EminentVictorians в сообщении #1578063 писал(а):
При строгом определении кольцо с единицей и кольцо без единицы - разные системы.
Нет, это два разных определения. Можно рассматривать класс "кольца с единицей". А можно рассматривать класс "кольцо" и определять свойство "есть единица" в терминах операций. Аналогично с коммутативностью и делителями нуля.
Пусть речь о произвольных кольцах. Посмотрим, как связаны свойства кольца с подкольцом и факторкольцом:
1. Коммутативность: если кольцо коммутативно, то подкольцо и факторкольцо коммутативны. Если некоммутативно - то как повезет.
2. Наличие единицы (без требования $1 \neq 0$): если в кольце есть единица, то в факторкольце есть единица, а в подкольце - как повезет. Если нет единицы - то в обоих случаях как повезет.
3. Отсутствие делителей нуля: если в кольце нет делителей нуля, то в подкольце нет делителей нуля, а в факторкольце - как повезет. Если есть делители нуля - то в обоих случаях как повезет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Отношение эквивалентности
Сообщение20.01.2023, 14:11 


22/10/20
1005
mihaild в сообщении #1578066 писал(а):
если в кольце есть единица, то в факторкольце есть единица
И я же объяснил выше, почему это так. Берем кольцо с единицей. Любая его подсистема (используем сейчас строгое определение подсистемы) содержит единицу. Значит и фактор будет содержать единицу. Давайте скажу по-другому: зачем рассматривать кольцо с единицей как систему вида "просто кольцо", если оно образует более сильную систему "кольцо с единицей". Надо пользоваться такой удачей. Единица образует целую (пусть и нульарную) операцию. Повезло же!

mihaild в сообщении #1578066 писал(а):
Если некоммутативно - то как повезет.
Тоже ведь ничему не противоречит. Факторсистемы наследуют те свойства, которые были у самой системы и сохраняются при переходе к подсистеме. Если коммутативности не было, вот она и не обязана сохраняться.

mihaild в сообщении #1578066 писал(а):
Если нет единицы - то в обоих случаях как повезет.
Аналогично ответу выше.

mihaild в сообщении #1578066 писал(а):
Отсутствие делителей нуля: если в кольце нет делителей нуля, то в подкольце нет делителей нуля, а в факторкольце - как повезет.
Хм.. а вот это странно. В факторкольце не должно быть делителей нуля. Отсутствие делителей нуля ведь переходит к подсистемам.

 Профиль  
                  
 
 Re: Отношение эквивалентности
Сообщение20.01.2023, 15:29 


22/10/20
1005
mihaild в сообщении #1578070 писал(а):
А можете его привести?
Есть система $A$ с набором операций $X$. Подмножество $B \subset A$ будем называть подсистемой системы $A$ если оно само является системой относительно сужения операций с системы $A$ на систему $B$ (конечно, в универсальной алгебре вместе с операциями еще и отношения рассматривают, но с ними все усложняется, а для локальной цели этой темы отношения не нужны, поэтому я их не упоминаю). Разумеется, необходимо, чтобы $B$ было замкнуто в $A$ относительно этих операций.

mihaild в сообщении #1578070 писал(а):
Ну и мне очень сильно не нравится попытка запретить считать $2\mathbb Z$ подкольцом $\mathbb Z$.
Строгий ответ здесь, что нету такой системы, как $\mathbb Z$. Есть $(\mathbb Z, 0, +, \cdot)$ и есть $(\mathbb Z, 0, +, \cdot, 1)$ - и это 2 разные системы. $2\mathbb Z$ является подсистемой первой, но не является подсистемой второй системы.

mihaild в сообщении #1578070 писал(а):
В $\mathbb Z_4 = \mathbb Z / 4\mathbb Z$ делители нуля есть.
Вижу. Но где ошибка - не понимаю. Пусть дана система $A$. Я думал, что мы знаем все о ее факторсистемах, если и только если мы знаем все о ее гомоморфизмах в себя. Но получается, что это не так. Это новый для меня факт, поэтому я не знаю, что сказать по этому поводу.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 18 ]  На страницу Пред.  1, 2

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group