Теория категорий применительно к алгебре и геометрии

[mihaild]

EminentVictorians в сообщении #1578063 писал(а):

При строгом определении кольцо с единицей и кольцо без единицы - разные системы.

Нет, это два разных определения. Можно рассматривать класс "кольца с единицей". А можно рассматривать класс "кольцо" и определять свойство "есть единица" в терминах операций. Аналогично с коммутативностью и делителями нуля.
Пусть речь о произвольных кольцах. Посмотрим, как связаны свойства кольца с подкольцом и факторкольцом:
1. Коммутативность: если кольцо коммутативно, то подкольцо и факторкольцо коммутативны. Если некоммутативно - то как повезет.
2. Наличие единицы (без требования $1 \neq 0$): если в кольце есть единица, то в факторкольце есть единица, а в подкольце - как повезет. Если нет единицы - то в обоих случаях как повезет.
3. Отсутствие делителей нуля: если в кольце нет делителей нуля, то в подкольце нет делителей нуля, а в факторкольце - как повезет. Если есть делители нуля - то в обоих случаях как повезет.

[EminentVictorians]

mihaild в сообщении #1578066 писал(а):

если в кольце есть единица, то в факторкольце есть единица

И я же объяснил выше, почему это так. Берем кольцо с единицей. Любая его подсистема (используем сейчас строгое определение подсистемы) содержит единицу. Значит и фактор будет содержать единицу. Давайте скажу по-другому: зачем рассматривать кольцо с единицей как систему вида "просто кольцо", если оно образует более сильную систему "кольцо с единицей". Надо пользоваться такой удачей. Единица образует целую (пусть и нульарную) операцию. Повезло же!

mihaild в сообщении #1578066 писал(а):

Если некоммутативно - то как повезет.

Тоже ведь ничему не противоречит. Факторсистемы наследуют те свойства, которые были у самой системы и сохраняются при переходе к подсистеме. Если коммутативности не было, вот она и не обязана сохраняться.

mihaild в сообщении #1578066 писал(а):

Если нет единицы - то в обоих случаях как повезет.

Аналогично ответу выше.

mihaild в сообщении #1578066 писал(а):

Отсутствие делителей нуля: если в кольце нет делителей нуля, то в подкольце нет делителей нуля, а в факторкольце - как повезет.

Хм.. а вот это странно. В факторкольце не должно быть делителей нуля. Отсутствие делителей нуля ведь переходит к подсистемам.

[EminentVictorians]

mihaild в сообщении #1578070 писал(а):

А можете его привести?

Есть система $A$ с набором операций $X$. Подмножество $B \subset A$ будем называть подсистемой системы $A$ если оно само является системой относительно сужения операций с системы $A$ на систему $B$ (конечно, в универсальной алгебре вместе с операциями еще и отношения рассматривают, но с ними все усложняется, а для локальной цели этой темы отношения не нужны, поэтому я их не упоминаю). Разумеется, необходимо, чтобы $B$ было замкнуто в $A$ относительно этих операций.

mihaild в сообщении #1578070 писал(а):

Ну и мне очень сильно не нравится попытка запретить считать $2\mathbb Z$ подкольцом $\mathbb Z$.

Строгий ответ здесь, что нету такой системы, как $\mathbb Z$. Есть $(\mathbb Z, 0, +, \cdot)$ и есть $(\mathbb Z, 0, +, \cdot, 1)$ - и это 2 разные системы. $2\mathbb Z$ является подсистемой первой, но не является подсистемой второй системы.

mihaild в сообщении #1578070 писал(а):

В $\mathbb Z_4 = \mathbb Z / 4\mathbb Z$ делители нуля есть.

Вижу. Но где ошибка - не понимаю. Пусть дана система $A$. Я думал, что мы знаем все о ее факторсистемах, если и только если мы знаем все о ее гомоморфизмах в себя. Но получается, что это не так. Это новый для меня факт, поэтому я не знаю, что сказать по этому поводу.