Пусть для достаточно широкого класса последовательностей случайных величин
![$\eta_1, \eta_2, \dots $ $\eta_1, \eta_2, \dots $](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/9/9/299c0714cc6a908358cecc427581d71a82.png)
(в общем случае зависимых) имеется возможность получить асимптотику распределения для суммы
![$\mathcal{S}_n = \eta_1 + \eta_2 + \dots + \eta_n $ $\mathcal{S}_n = \eta_1 + \eta_2 + \dots + \eta_n $](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/f/0/cf0e349eaefd762f71d1699b45bb525382.png)
(при
![$n \rightarrow \infty$ $n \rightarrow \infty$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/b/1/5b1d0e6cb391219b21d53d5848fe80a982.png)
), имеет ли смысл на основе этого пытаться получить асимптотику распределения для максимума
![$\mathcal{M}_n = \max\{\eta_1, \eta_2, \dots, \eta_n\} $ $\mathcal{M}_n = \max\{\eta_1, \eta_2, \dots, \eta_n\} $](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/b/e/ebe5c0dabbbfae773beea4e956757ae782.png)
?
Идея такая - аппроксимировать максимум с помощью суммы, например, используя параметризованную параметром
![$\gamma > 0$ $\gamma > 0$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/7/4/e74f84cf82bd82054312a04d544ef34082.png)
функцию
LogSumExp:
![$LSE_\gamma(x_1,\dots,x_n) = \frac{1}{\gamma}\log \sum_{i=1}^n e^{\gamma x_i} $ $LSE_\gamma(x_1,\dots,x_n) = \frac{1}{\gamma}\log \sum_{i=1}^n e^{\gamma x_i} $](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/9/7/297af0afc2c67a705153a94dc334e5fe82.png)
, после чего воспользоваться результатом для сумм и перейти к пределу по параметру
![$\gamma \rightarrow \infty$ $\gamma \rightarrow \infty$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/5/e/e5ebf3e77441db50608d5d5fce307edc82.png)
. Может ли что-то путное из этого получиться?
Спасибо.