Точная нижняя грань функционала

[Padawan]

Найти точную нижнюю грань функционала $J=\int_{O}^A e^x\sqrt{\dot x^2+\dot y^2}\, dt$ по всем гладким кривым $x=x(t)$, $y=y(t)$ с началом в точке $O=(0,0)$ и концом в точке $A=(2,4)$.

[krum]

(Оффтоп)

Уравнения интегрируются, поэтому вопрос выглядит техническим.

[Padawan]

(Оффтоп)

Граничные условия удовлетворить не получается, т.е. экстремалей нет. В этом сложность.

[мат-ламер]

(Оффтоп)

В виду недостатка времени задачу не решал. Пока в качестве простого частного примера нашёл кривую (точнее, последовательность кривых) , для которой значение функционала (точнее, нижняя грань) равно $e^2+3$. С интересом буду следить за предложенными решениями и ответами.

[Dendr]

У меня вышло $e^2-e^{-2}$.
Кривая - что-то дикое с гипергеометрией, если верить Вольфраму.

-- 17.01.2023, 16:01 --

мат-ламер в сообщении #1577577 писал(а):

(Оффтоп)

В виду недостатка времени задачу не решал. Пока в качестве простого частного примера нашёл кривую (точнее, последовательность кривых) , для которой значение функционала (точнее, нижняя грань) равно $e^2+3$. С интересом буду следить за предложенными решениями и ответами.

Это была моя первая проба (во всяком случае, результат ровно тот же, не может быть же совпадением), но это пальцем в небо. Простой перебор функций вида $y(x)=4\sqrt[k]{x\over2}$ уже даст результат для $k=11$, равный $9,8975...$.

[Padawan]

Dendr в сообщении #1577580 писал(а):

У меня вышло $e^2-e^{-2}$.

Хм. Кривую в студию! Я вроде как доказал, что инфимум равен $e^2+1$.

[krum]

Padawan в сообщении #1577585 писал(а):

Я вроде как доказал, что инфимум равен $e^2+1$.

аналогично, далеко-далеко уходим по $x$ в минус

[Padawan]

Ага. А как доказать, что для любой кривой интеграл больше, чем $e^2+1$?

[Dendr]

Padawan в сообщении #1577585 писал(а):

Хм. Кривую в студию!

Упс. Виноват, накосячил. Слишком хорошо получалось, что первая производная равна

$$y'(x)=\frac{1}{\sqrt{Ce^{2x}-1}}$$

Но дальше вместо того, чтобы проинтегрировать и определить $C$ (что не так просто, к тому же, в действительных числах не решается), сунул в первоначальный интеграл, и стал искать минимум функции от $C$. Причем ошибся и там.

Так что снимаю решение.

[krum]

Padawan в сообщении #1577594 писал(а):

Ага. А как доказать, что для любой кривой интеграл больше, чем $e^2+1$?

для гладких кривых, которые представляются графиком $x=x(y)$ это наверное нетрудно, а так...

[zykov]

Padawan в сообщении #1577528 писал(а):

и концом в точке $A=(2,4)$.

А что если $A=(2,2)$? Или $A=(2,q)$, где $0<q<2$?
(Если $q>2$, то вроде как очевидно, что надо в минус-бесконечность по $x$ идти.)

[krum]

$\int e^x\sqrt{\dot x^2+\dot y^2}\ge 2\Big|\int_{A}^0e^xdx\Big|+e^2-1$, где $[A,0]$ -- проекция кривой на отрицательную часть оси $x$.

[Padawan]

krum в сообщении #1577607 писал(а):

для гладких кривых, которые представляются графиком $x=x(y)$ это наверное нетрудно, а так...

Ну, давайте для таких. На самом деле нетрудно увидеть, что любую кривую можно преобразовать в график $x=x(y)$ с уменьшением значения функционала. Так что достаточно доказать для $ x=x(y)$.
zykov

zykov в сообщении #1577610 писал(а):

Если $q>2$, то вроде как очевидно, что надо в минус-бесконечность по $x$ идти.)

Неа. Там пограничное значение $q=\pi$. Для $q<\pi$ экстремаль, проходящая через точки $(0, 0)$ и $(2, q) $ существует и даёт глобальный минимум функционала.

-- Вт янв 17, 2023 20:11:21 --

krum в сообщении #1577615 писал(а):

$\int e^x\sqrt{\dot x^2+\dot y^2}\ge 2\Big|\int_{A}^0e^xdx\Big|+e^2-1$, где $[A,0]$ -- проекция кривой на отрицательную часть оси $x$.

А если $A$ маленькое?

[12d3]

Если переобозначить $e^x=r, \, r > 0$, то в координатах $(r,y)$ функционал примет вид $\int_{O'}^{A'} \sqrt{\dot r^2+r^2\dot y^2}\, dt$, а это длина кривой в полярных координатах из точки $(1; 0)$ в точку $(e^2;4)$. Причем фокус в том, что вертеться вокруг начала координат надо против часовой стрелки, считерить и нарисовать прямую нельзя. Вот и получаем нижнюю грань $1 + e^2$.

[krum]

Здорово!

-- 17.01.2023, 19:30 --

Черт, а я уже начал думать, что за этим какая-то большая вариационная наука стоит