Сумма углов выпуклого многогранника

[cybertourist]

Добрый день, пытаюсь разобраться с задачей 4 из второго листочка курса Геометрия НМУ, https://ium.mccme.ru/postscript/f22/geometry-list2.pdf

Условие: Докажите, что сумма углов выпуклого многогранника в евклидовом трехмерном пространстве равна $2\pi(E-F)$ где E - кол-во ребер, F - кол-во граней

Не понятно какой именно угол тут имеется в виду, если сумма телесных углов, то в том же кубе должно получиться $12\pi$, но каждый угол при каждой вершине равен $\frac{4\pi}{8}=\frac{\pi}{2}$ то есть вся сумма углов куба равна 4\pi

[svv]

Здесь имеется в виду сумма внутренних углов всех граней как многоугольников.
Вам понадобятся:
Теорема о сумме углов многоугольника
Формула Эйлера для выпуклых многогранников

[cybertourist]

svv
Понятно, спасибо, я этот вариант рассматривал но затупил и думал что сумма всех углов в многоугольнике равна 360

[Утундрий]

cybertourist в сообщении #1577490 писал(а):

думал что сумма всех углов в многоугольнике равна 360

Независимо от числа углов? Лихо.

[Mihr]

А как же треугольник? Или "много" - это "четыре и больше"?

[svv]

Ну, сумма внешних углов выпуклого многоугольника как-то же умудряется быть всегда $2\pi$.
И потом, это вопрос точности. Всё верно, с большей или меньшей точностью.