Оценка сходимости ряда.

[мат-ламер]

krum в сообщении #1577398 писал(а):

проблема написать определение?

Извините ваш вопрос не понял. На всякий случай повторю свой предыдущий ответ.

мат-ламер в сообщении #1577397 писал(а):

Доказать это равенство не составит проблем никому, даже начинающему. Проблема в том, чтобы в начале размышлений вообще записать его, то есть вообще пойти по этому пути.

Проблема в том, что бы в начале размышлений над задачей заменить выражение $(\ln \ln n)^{\ln n}$ на выражение $n^{\ln \ln \ln n} $ . Эта замена выглядит вполне естественным для помогающих в данной теме. Однако, я писал про начинающих. Топик-стартер ведь не догадался про неё. Поэтому я подумал, что моё доказательство будет естественнее (не проще!) для начинающего.

[krum]

мат-ламер в сообщении #1577402 писал(а):

Проблема в том, что бы в начале размышлений над задачей заменить выражение $(\ln \ln n)^{\ln n}$ на выражение $n^{\ln \ln \ln n} $ .

дык, ведь, и я про это

[Combat Zone]

мат-ламер в сообщении #1577402 писал(а):

Проблема в том, что бы в начале размышлений над задачей заменить выражение $(\ln \ln n)^{\ln n}$ на выражение $n^{\ln \ln \ln n} $ . Эта замена выглядит вполне естественным для помогающих в данной теме. Однако, я писал про начинающих. Топик-стартер ведь не догадался про неё.

Нет такой проблемы, всегда степенно-показательную функцию стараются представить в экспоненциальном виде и студентов учат этому с первых занятий, и при построении графиков, и при исследовании функций, и при вычислении пределов и т.д., то есть с самого начала. Ряды ничем не лучше и не хуже. А почему ТС не догадался, это уже трудно сказать.

[mihaild]

мат-ламер, ИМХО идея "избавиться от переменной в основании степени" проще и универсальнее, чем "в любой непонятной ситуации логарифмируй". Понятно, что вычисления все одни и те же, но что делать с логарифмом - не очень понятно. А вот после переписывания через экспоненту в принципе уже и $\exp(\ln n \cdot x_n)$ заметить можно, да и просто о порядке роста подумать.

[RIP]

мат-ламер в сообщении #1577389 писал(а):

Только до этого непонятно как начинающему додуматься.

Если известно, что ряд $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^a}$ сходится при $a>1$ и расходится при $a\leqslant1$, то выглядит логично попробовать записать общий член ряда в виде $n^{\textnormal{что-то}}$.