Гравитационное поле в туннеле через Землю

[reterty]

Общеизвестна задача о движении тела внутри сквозного туннеля через центр Земли. Ее решение в простейшей аппроксимации базируется на известном выражении для поля внутри однородного шара. Однако в данном случае следует пользоваться выражением для поля однородного шара минус поле туннеля заполненного однородным веществом. Так вот, если моделировать поле последнего полем однородного отрезка, то получим во всех точках бесконечно большую напряженностьво всех его точках. Учет конечной толщины цилиндрического туннеля сделает ее конечной , но возможно сравнимой с полем однородного шара.....

[Утундрий]

Задача на превышение разумной точности?

[zykov]

reterty в сообщении #1576533 писал(а):

Так вот, если моделировать поле последнего полем однородного отрезка, то получим во всех точках бесконечно большую напряженностьво всех его точках

Это только если уменьшать радиус цилиндра сохраняя массу, что даёт неограниченный рост плотности.
Но в этом случае плотность не меняется, а масса будет стремится к нулю.

reterty в сообщении #1576533 писал(а):

Учет конечной толщины цилиндрического туннеля сделает ее конечной , но возможно сравнимой с полем однородного шара.....

Посчитайте.

[мат-ламер]

reterty в сообщении #1576533 писал(а):

Так вот, если моделировать поле последнего полем однородного отрезка, то получим во всех точках бесконечно большую напряженностьво всех его точках.

А это действительно так (отвлекаясь от физической реализуемости)? Да, интеграл расходится. Но, если его считать в смысле главного значения (во внутренних точках отрезка), то получается конечная величина. Интуитивно можно рассуждать так. Окружим внутреннюю точку отрезка симметричной окрестностью. Притяжение точек вне этой окрестности - конечная величина. Притяжение точек внутри этой окрестности взаимно компенсируется.

Смысл моего поста заключается в вопросе, а не является интегрирование в смысле главного значения более соответствующим физическому смыслу задачи?

[reterty]

мат-ламер в сообщении #1576571 писал(а):

reterty в сообщении #1576533 писал(а):

Так вот, если моделировать поле последнего полем однородного отрезка, то получим во всех точках бесконечно большую напряженностьво всех его точках.

А это действительно так (отвлекаясь от физической реализуемости)? Да, интеграл расходится. Но, если его считать в смысле главного значения (во внутренних точках отрезка), то получается конечная величина. Интуитивно можно рассуждать так. Окружим внутреннюю точку отрезка симметричной окрестностью. Притяжение точек вне этой окрестности - конечная величина. Притяжение точек внутри этой окрестности взаимно компенсируется.

Смысл моего поста заключается в вопросе, а не является интегрирование в смысле главного значения более соответствующим физическому смыслу задачи?

Вы абсолютно правы. Нужно брать интеграл в смысле главного значения. Тогда во всех внутренних точках значение напряженности поля конечно. Но напряженность расходится все же на концах отрезка. Значит вблизи поверхности расхождение с полем однородного шара может быть существенным, особенно при относительно большом радиусе туннеля.

[zykov]

reterty в сообщении #1576579 писал(а):

Значит вблизи поверхности расхождение с полем однородного шара может быть существенным, особенно при относительно большом радиусе туннеля.

Если радиус туннеля с половину радиуса шара, то расхождение большое.
Если туннель тонкий, например 1м-10м при радиусе шара 6500км, то расхождение будет микроскопическим. Просто сравните массу шара и массу убранную из туннеля.

[reterty]

если кто-то умудрится сделать сквозной туннель через Землю))), то почему бы его не сделать 10 км(все же много меньше радиуса Земли), тогда расхождение больше 5% вплоть до глубин приблизительно 150 метров.. а для туннеля радиусом в половину шара, модель однородного отрезка уже работать не будет

[мат-ламер]

reterty
Придумал для вас задачу по мотивам вашего сообщения. Пусть у нас есть материальной отрезок с некоторой постоянной линейной плотностью. (Объёмная плотность при этом будет бесконечна). Пусть у нас на конце отрезка находится материальная точка, которая может свободно скользить по отрезку. Как вы думаете, она начнёт двигаться по отрезку с некоторой начальной скоростью или без оной? Сколько времени займёт движение до противоположного конца отрезка? Или хотя бы, какой закон движения этой точки будет?

Задачу сам не решал. Если в элементарных функциях что-то не решается, то извините.

[мат-ламер]

мат-ламер в сообщении #1576630 писал(а):

Задачу сам не решал.

Поэтому задача получилась глупая. При ближайшем рассмотрении оказалось, что потенциал материальной точки относительно центра отрезка при стремлении этой точки к краю отрезка стремиться к бесконечности. Значит точка, стартуя с крайней точки отрезка, сразу приобретает бесконечную скорость (мы остаёмся в рамках ньютоновской механики).

[reterty]

мат-ламер в сообщении #1576687 писал(а):

мат-ламер в сообщении #1576630 писал(а):

Задачу сам не решал.

Поэтому задача получилась глупая. При ближайшем рассмотрении оказалось, что потенциал материальной точки относительно центра отрезка при стремлении этой точки к краю отрезка стремиться к бесконечности. Значит точка, стартуя с крайней точки отрезка, сразу приобретает бесконечную скорость (мы остаёмся в рамках ньютоновской механики).

Запишите тогда закон сохранения энергии в релятивистской форме. И по нему постройте фазовую траекторию точки. Должно получиться что-то любопытное...

[LLeonid3]

reterty, а численное решение принимается? Можно смоделировать Землю из ~1 -- 2 миллионов случайно/равномерно распределённых точек с туннелем и посчитать компьютером

[reterty]

LLeonid3 в сообщении #1576723 писал(а):

reterty, а численное решение принимается? Можно смоделировать Землю из ~1 -- 2 миллионов случайно/равномерно распределённых точек с туннелем и посчитать компьютером

Принимается! У Вас Монте-Карло?

[LLeonid3]

reterty, нет, у меня любопытство, для чего лет десять назад сделал программку для расчёта орбитальных скоростей галактики (за прошедшее время произошло крушение диска, но программку удалось восстановить), она и подходит для названной вами задачи, лишь туннель нарисовать
Вот три картинки с разными вариантами (на лишние поля не обращайте внимания, это артефакт)
https://disk.yandex.ru/i/mQ3pTGPavgICWw
https://disk.yandex.ru/i/XjbIOT1i3JkXyw
https://disk.yandex.ru/i/-y6J6gnzC-rYSw
(Не нравятся мне хостинги для размещения картинок, ссылки на Яндекс-диск)

[reterty]

LLeonid3 в сообщении #1576794 писал(а):

reterty, нет, у меня любопытство, для чего лет десять назад сделал программку для расчёта орбитальных скоростей галактики (за прошедшее время произошло крушение диска, но программку удалось восстановить), она и подходит для названной вами задачи, лишь туннель нарисовать
Вот три картинки с разными вариантами (на лишние поля не обращайте внимания, это артефакт)
https://disk.yandex.ru/i/mQ3pTGPavgICWw
https://disk.yandex.ru/i/XjbIOT1i3JkXyw
https://disk.yandex.ru/i/-y6J6gnzC-rYSw
(Не нравятся мне хостинги для размещения картинок, ссылки на Яндекс-диск)

на картинках отношение радиуса планеты к радиусу цилиндра равно 25:5 и 25:10?

[LLeonid3]

Да, 25 -- радиус шара, 5 (10) -- радиус туннеля (без заполняющей материи)