Параллельность лучей треножников - индукция в геометрии

[someniatko]

Решаю школьную задачу на тему "индукция". Вроде бы достаточно тривиальная, но смутил один момент в условии.

Условие:
На плоскости расположено несколько треножников (фигур, состоящих из 3 лучей с общей вершиной). Докажите, что если никакие два из ограничивающих треножники лучей не параллельны, то части, на которые они разбивают плоскость, можно выкрасить тремя красками так, чтобы части, граничащие по отрезку или лучу, оказались бы выкрашены в разные цвета.

Мое решение:
При одном треножнике понятно, просто красим в разные цвета все три части.
Предположим, что для $n$ треножников условие доказано. Нарисуем на плоскости $n$ треножников и покрасим в три цвета в соответствии с условием задачи. Нарисуем еще один треножник. Он как-то разделит плоскость на три части. Одну из частей не трогаем, во второй меняем цвета в таком порядке: 1й на 2й, 2й на 3й, 3й на 1й (циклично увеличиваем номер цвета на единицу), а в третьей - 1й на 3й, 2й на 1й, 3й на 2й (увеличиваем на два). Внутри этих трёх частей условие выполнено, т.к. одинаковые цвета перешли в одинаковые, а разные - в разные. На границах же этих частей - т.к. ни один луч нового треножника больше чем на точку не совпал ни с одним лучом старых - до изменения цвета были одинаковыми, но после - гарантированно разными, т.к. в каждой части номер одного и тот же цвета поменялся на разную величину: 0, 1 и 2.

Развитие темы:
Если не использовать часть условия про недопустимость параллельности, то можно придумать вот такой контрпример, который разрушает мое доказательство:
(здесь вертикальный луч верхнего треножника - часть вертикального луча нижнего)

 |
 *
/|\
 *
/ \

Тогда при циклической замене цветов две верхних части вполне могут получить одинаковый цвет. Но при этом раскрасить такую картинку в соответствии с условием все ещё можно, просто доказательство на этот случай не обобщается. В связи с чем у меня возник вопрос:

1. Можно ли (в теории) опустить эту часть условия про параллельность, и утверждение задачи все ещё останется верным, ИЛИ
2. Есть ли контрпример, где какие-то несколько лучей этих проклятых треножников параллельны, и который действительно нельзя раскрасить в три цвета. Я не смог придумать такого.

Надеюсь это не равносильно теореме четырех красок . Хотя не должно, т.к. цвета всего три.

[Утундрий]

someniatko в сообщении #1576409 писал(а):

Есть ли контрпример, где какие-то несколько лучей этих проклятых треножников параллельны, и который действительно нельзя раскрасить в три цвета.

Предположительно нет. Для этого, насколько я понимаю, необходимо существование ограниченной области (которая в данном случае будет многоугольником), окружённой цепью нечётного числа примыкающих к ней и граничащих друг с другом областей. Как я ни крутил лучами, всё равно в цепь вклинивается кусок, граничащий с рассматииваемой областью только по вершине.

[someniatko]

Я тоже думал о подобной конфигурации, это напомнило мне задачу "Нарисуйте 11 одинаковых квадратов, которые не накладываются друг на друга кроме как сторонами / вершинами, чтобы их нельзя было раскрасить в три цвета без того что какие-то два, имеющие общий отрезок стороны, были одного цвета", где идея построения примера была ± в этом.

Ни у кого нет идеи как можно доказать что при данных вводных эту конфигурацию создать невозможно?

[Утундрий]

Ещё можно попробовать рассмотреть все случаи вырождения и для каждого найти вариант перекраски для избежания озвученного выше казуса.

[someniatko]

(Оффтоп)

Я вот подумал, в школьной геометрии, по крайней мере в учебниках, дается такое определение параллельных лучей: два луча называются параллельными, если они лежат на параллельных прямых. А параллельные прямые на плоскости - это такие две прямые, которые не пересекаются - т.е. не имеют общих точек. Соответственно, если лучи лежат на одной и той же прямой, она ведь имеет с собой бесконечное число точек, а следовательно не параллельна сама себе, потому лучи в моем контрпримере таки не параллельны друг другу, а значит условие задачи попросту неверно, ыхыхы.

Понятно что в более продвинутой геоме с аксиоматическим подходом, постулируют прямую параллельной самой себе, но вот будь я обычным школьником, как должен до этого догадаться.