junaЭто верно, конечно, но имелось в виду другое. Нам известно, что в решениях
![$R=1$ $R=1$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/4/d/e4d2d8a7b8fb2790d2713048ef37e91882.png)
произведение
![$xy$ $xy$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/5/f/65f1b48fb5f326a680b0f7393b9d8b6d82.png)
есть число вида
![$k(k+1).$ $k(k+1).$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/2/0/d2034ed9ccaa2926708a57460f0d6a1282.png)
Если
![$x=2,$ $x=2,$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/a/8/aa87c3203c715b4d2cc40ebfcdf691c382.png)
то
![$y=k(k+1)/2$ $y=k(k+1)/2$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/c/6/6c6982b03ccc9d7ecee05a3a929e58c882.png)
— треугольное число
![$t_k$ $t_k$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/0/9/509bf7d4f0f63616580a39c4ed8b527d82.png)
. То же и
![$m: \sqrt{2}+\sqrt{t_n} \approx \sqrt{t_n+2}.$ $m: \sqrt{2}+\sqrt{t_n} \approx \sqrt{t_n+2}.$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/1/3/213e53b0dd292d212fd55de517c109e982.png)
Рассмотрим случаи, когда треугольное число
![$m$ $m$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/e/5/0e51a2dede42189d77627c4d742822c382.png)
имеет ровно два простых делителя (для этого нам нужны простые Софи Жермен и похожая последовательность
oeis.org/A005382). Все приближения вида
![$R=1$ $R=1$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/4/d/e4d2d8a7b8fb2790d2713048ef37e91882.png)
для них имеют иксом двойку, но в некоторый момент они перестают быть решением, это как раз первое квазипростое, указанное Вами. Следующее решение (
![$p=41$ $p=41$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/4/e/04e9b9189591ebb285e6371cc6d84a3e82.png)
) не является квазипростым, если не ошибся:
![$\sqrt{2}+\sqrt{t_{80}} \approx \sqrt{t_{82}}.$ $\sqrt{2}+\sqrt{t_{80}} \approx \sqrt{t_{82}}.$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/9/4/994daf3404bdb141fab4a69399c83e4282.png)
Если они так и дальше идут вперемешку, можно сделать вывод о бесконечном числе вхождений двойки в решения вида
![$R=1.$ $R=1.$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/a/4/6a421a9d5096d729fe98ecef2a85428f82.png)
Но ключевое отношение
![$y/x$ $y/x$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/f/2/5f2e041ca0f9a53c9d5f08971d4f18ee82.png)
увеличивается, и мне это кажется нелогичным. Вот проверил дальнейшие
![$35$ $35$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/d/6/bd669e320acfb81a7fe41de6e6523c0882.png)
треугольников до
![$t_{1153}$ $t_{1153}$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/0/1/c010b53a77069ce44737d99824f173fa82.png)
, все они уже оказались квазипростыми. Если же предположение о конечном числе вхождений двойки в
![$R=1$ $R=1$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/4/d/e4d2d8a7b8fb2790d2713048ef37e91882.png)
верно, то по простым
![$m$ $m$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/e/5/0e51a2dede42189d77627c4d742822c382.png)
и подавно. Другие числа ничем не хуже двойки, и тогда можно говорить о верхней границе отношения
![$y/x$ $y/x$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/f/2/5f2e041ca0f9a53c9d5f08971d4f18ee82.png)
как функции от
![$x$ $x$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/3/2/332cc365a4987aacce0ead01b8bdcc0b82.png)
. Может, она даже к чему-то сходится — понятие "не может быть слишком большим" мало к чему обязывает. Как-то так.