2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1 ... 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12  След.
 
 Re: √m≈√x+√y
Сообщение23.12.2022, 12:04 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/11/12
1870
Санкт-Петербург
juna в сообщении #1574827 писал(а):
приводить не к другим худшим, а к лучшим...
Думаю, от перебора $m''=m' \pm Q_n$ всё равно не уйти, но это мелочи — там ведь сильные ограничения по величине. А начинать вроде бы с любого можно, всяко доберемся с $17$-й попытки. Лучше, конечно, поближе подпустить, есть у нас методы.

 Профиль  
                  
 
 Re: √m≈√x+√y
Сообщение23.12.2022, 17:50 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/11/12
1870
Санкт-Петербург
Andrey A в сообщении #1574828 писал(а):
... всяко доберемся с $17$-й попытки.
Да, я понял Ваши опасения, вопрос не праздный. Нам требуются арифметические суммы, а для алгоритма одни не хуже всех остальных. В зоне плохих приближений появляются длинные периоды, что соответствует как раз алгебраическим суммам, они ведут себя иначе, что хорошо видно на примере наших последовательностей:
$\sqrt{260}-\sqrt{187} \approx 6,001133788...$
$\sqrt{187}-\sqrt{126} \approx 6,001628669...$
$\sqrt{126}-\sqrt{77}\  \approx 6,002538087...$
$\sqrt{77}-\sqrt{40}\  \approx 6,002538087...$
Для алгоритма это именно "соседние суммы", он их честно и выдает.

 Профиль  
                  
 
 Re: √m≈√x+√y
Сообщение25.12.2022, 11:22 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


07/03/06
1898
Москва
Andrey A

А как быть вот с такими приближениями:
$$\sqrt{119}\approx\sqrt{21}+\sqrt{40}, R=4, m'=58, v'=19$$
$$\sqrt{16\cdot 21\cdot 40}=[115; 1, 13, 2, 57, 2, 13, 1, 230]$$
$$Q_2=14,Q_3=29, Q_4=1667, Q_5=3363, Q_6=45386, Q_7=48749$$
Какую часть цепной дроби брать для коррекции $m''=m'\pm Q_n$?

 Профиль  
                  
 
 Re: √m≈√x+√y
Сообщение25.12.2022, 14:31 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/11/12
1870
Санкт-Петербург
Боюсь никакую, с предыдущим примером просто повезло. Возможно, работают палиндромы из $3-5$ знаков. Тут $7$ знаков, получим алгебраическую сумму, которая после "приземления" через последовательность даст что-то по соседству. Короче напрямую это не работает, о причинах писал выше. Сами решения $p,q$ тем не менее существуют, но алгоритм предлагает более близкого соседа, объяснить ему разницу между алгебраическими и арифметическими суммами невозможно. Брать несколько начальных знаков тем более бессмысленно — грубое приближение чего-то без того ненужного. Очередной тупичок. Ну, если только у Вас какие-то спасительные идеи найдутся.

 Профиль  
                  
 
 Re: √m≈√x+√y
Сообщение25.12.2022, 16:16 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


07/03/06
1898
Москва
Идей нет, к сожалению.

Но мы должны отдавать себе отчет, что если мы находим какой-то беспереборный способ, то тут же находим беспереборный способ решения сравнения $(m-v)^2\equiv R \mod 4m$ для заданных $m, R$, затем тут же следует решение всех рассмотренных выше диофантовых уравнений.

Если известно, что $(m-v')^2\equiv R' \mod 4m$, то фактически Вы предлагали алгоритм нахождения из них новых $v'', R''<R'$.
Может быть здесь и есть какие-то групповые свойства.

В качестве интересного замечания:
$$\sqrt{R}e^{arcsinh\left(\frac{\gamma}{\sqrt{R}}\right)}=\gamma+\sqrt{\gamma^2+R}=2\gamma+\cfrac{R}{2\gamma+\cfrac{R}{2\gamma+\cfrac{R}{2\gamma+\ldots}}}$$
$$\sqrt{R}e^{-i\cdot arccos\left(\frac{\gamma}{\sqrt{R}}\right)}=\gamma+\sqrt{\gamma^2-R}=2\gamma-\cfrac{R}{2\gamma-\cfrac{R}{2\gamma-\cfrac{R}{2\gamma-\ldots}}}$$

Если рассматривать частные дроби:
$$2\,\gamma, \frac{4\,\gamma^2+R}{2\,\gamma}, \frac{8\,\gamma^3+4\,R\,\gamma}{4\,\gamma^2+R}, \frac{16\,\gamma^4+12\,R\,\gamma^2+R^2}{8\,\gamma^3+4\,R\,\gamma}$$
Видно, что числители и знаменатели получаемых дробей связаны с так называемыми массивами Риордана: https://oeis.org/A099089

Можно еще поколдовать:
$$4m=\sqrt{R}e^{-i\cdot acos{\frac{m-(y-x)}{\sqrt{R}}}}+\sqrt{R}e^{-i\cdot acos{\frac{m+(y-x)}{\sqrt{R}}}}$$
$$\sqrt{R}e^{-i\cdot acos{\frac{m-(y-x)}{\sqrt{R}}}}\cdot \sqrt{R}e^{-i\cdot acos{\frac{m+(y-x)}{\sqrt{R}}}}=$$
$$=\left((m-(y-x))+\sqrt{(m-(y-x))^2-R}\right)\cdot \left((m+(y-x))+\sqrt{(m+(y-x))^2-R}\right)$$
$$arccos(x)+arccos(y)=arccos\left(xy-\sqrt{(1-x^2)(1-y^2)}\right)$$
$$R\cdot e^{-iarccos\left(\frac{m^2-(y-x)^2}{R}-\sqrt{\left(1-\frac{(m-(y-x))^2}{R}\right)\cdot \left(1-\frac{(m+(y-x))^2}{R}\right) }\right)}$$

с неясными перспективами..)

 Профиль  
                  
 
 Re: √m≈√x+√y
Сообщение26.12.2022, 08:45 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/11/12
1870
Санкт-Петербург
juna в сообщении #1575035 писал(а):
с неясными перспективами..)
Именно. Фактуры любопытной у нас немало накопилось, отчаиваться пока не будем, лучше пронумеровать основные формулы и привести дела в порядок. Важное добавление:
Andrey A в сообщении #1570635 писал(а):
$$\begin{Vmatrix}
n & (\sqrt{m}-\sqrt{x_n})^2\approx y_n & 1/\delta \\ 
--- & ---------- & ---\\ 
1 & (\sqrt{1957}-\sqrt{467})^2\approx 512,02 & 56\\ 
2 & (\sqrt{1957}-\sqrt{466})^2\approx 513,07 & 15\\ 
3 & (\sqrt{1957}-\sqrt{465})^2\approx 514,12 & 9\\ 
4 & (\sqrt{1957}-\sqrt{464})^2\approx 515,17 & 6\\ 
5 & (\sqrt{1957}-\sqrt{463})^2\approx 516,22 & 4\\ 
6 & (\sqrt{1957}-\sqrt{462})^2\approx 517,28 & 4\\ 
7 & (\sqrt{1957}-\sqrt{461})^2\approx 518,34 & 3\\ 
8 & (\sqrt{1957}-\sqrt{460})^2\approx 519,40 & 2\\ 
9 & (\sqrt{1957}-\sqrt{459})^2\approx 520,47 & 2\\ 
10 & (\sqrt{1957}-\sqrt{458})^2\approx 521,53 & 2\\ 
11 & (\sqrt{1957}-\sqrt{457})^2\approx 522,60 & 2\\ 
12 & (\sqrt{1957}-\sqrt{456})^2\approx 523,67 & 1\\ 
13 & (\sqrt{1957}-\sqrt{455})^2\approx 524,74 & 1\\ 
14 & (\sqrt{1957}-\sqrt{454})^2\approx 525,82 & 1\\
15 & (\sqrt{1957}-\sqrt{453})^2\approx 526,90 & 1\\ 
16 & (\sqrt{1957}-\sqrt{452})^2\approx 527,97 & 1\\ 
17 & (\sqrt{1957}-\sqrt{451})^2\approx 529,06 & 18\\ 
18 & (\sqrt{1957}-\sqrt{450})^2\approx 530,14 & 7\\ 
19 & (\sqrt{1957}-\sqrt{449})^2\approx 531,23 & 4\\ 
20 & (\sqrt{1957}-\sqrt{448})^2\approx 532,32 & 3\\ 
21 & (\sqrt{1957}-\sqrt{447})^2\approx 533,41 & 2\\ 
22 & (\sqrt{1957}-\sqrt{446})^2\approx 534,50 & 2\\ 
23 & (\sqrt{1957}-\sqrt{445})^2\approx 535,60 & 2\\ 
24 & (\sqrt{1957}-\sqrt{444})^2\approx 536,70 & 1\\ 
25 & (\sqrt{1957}-\sqrt{443})^2\approx 537,80 & 1\\ 
26 & (\sqrt{1957}-\sqrt{442})^2\approx 538,90 & 1\\ 
27 & (\sqrt{1957}-\sqrt{441})^2\approx 540,00 & 232\\ 
28 & (\sqrt{1957}-\sqrt{440})^2\approx 541,11 & 9\\
29 & (\sqrt{1957}-\sqrt{439})^2\approx 542,22 & 4
\end{Vmatrix}$$

Далее, если помните, описывался способ вычисления пиковых $x$. Но всё гораздо проще, стоит лишь заметить, что суммы $s=x+y$ на межпиковом участке одинаковы и меняются как раз на острие зубца: $467+512=466+513=...=979;\ 452+527=979,451+529=980.$ А для заданной суммы оптимальное значение $v$ только одно: $\left \lceil \sqrt{s^2-(m-s)^2} \right \rceil$ или $\left \lceil \sqrt{(m-m')^2-m'^2} \right \rceil$, если угодно. Все остальные решения заведомо не могут быть лучшими, и возникает необходимость расширить понятие "приведенного решения". Углубляться не буду, скажем так:

Существует "точка смены дат", обозначим ее $\Omega=\dfrac{m-3}{9}$, характеризуемая также отношением $y \approx 4x+2.$

Для $x<\Omega$ решение считается приведенным, если $y=\left \lfloor (\sqrt{m}-\sqrt{x})^2 \right \rfloor.$

Для $\dfrac{(\sqrt{m}-1)^2}{4}>x>\Omega$ решение считается приведенным, если $v=\left | x-y \right |=\left \lceil \sqrt{(x+y)^2-(m-x-y)^2} \right \rceil$.


Во избежание лишних вычислений в процессе воображаемого перебора, в нижней части решения генерируются от последовательных $1 \leqslant x <\Omega$, в верхней части — от последовательных $\dfrac{m+1}{2} \leqslant s<s_{\Omega}=\dfrac{5m+3}{9}$ по формуле $x,y=\dfrac{\left ( m \pm v \right )^2-R}{4m}.$ И пора наконец пронумеровать формулы
$$x,y=\dfrac{\left ( m \pm v \right )^2-R}{4m}\ \ \ \ \ \  (1).$$
$$v=\left \lceil \sqrt{(x+y)^2-(m-x-y)^2} \right \rceil\ (2)$$ или
$$v^2=m(2s-m)+R\ \ \ \ \ \ (3).$$

 Профиль  
                  
 
 Re: √m≈√x+√y
Сообщение03.01.2023, 02:01 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/11/12
1870
Санкт-Петербург
Andrey A в сообщении #1573214 писал(а):
Выходит, в первом случае обратная задача решается на пятерку, а тут затык... это как минимум странно. Просто она сложная.
Но не безнадежная. Напомню:
Andrey A в сообщении #1573395 писал(а):
Обозначим $\beta_n=\dfrac{p_n}{q_n},\ a+b=s,\ a-b=v$ и приравняем остатки дробей разложений $\sqrt{m}$ и $\sqrt{a}+\sqrt{b}:$ $$\dfrac{2\beta_n}{\beta_n^2-m} \cdot \dfrac{(-1)^n}{q_n^2}-\dfrac{q_{n-1}}{q_n}=\dfrac{4\beta_n(\beta_n^2-s)}{\beta_n^4-2s\beta_n^2+v^2} \cdot \dfrac{(-1)^n}{q_n^2}-\dfrac{q_{n-1}}{q_n}$$ После тотального взаимоуничтожения переменных получаем хорошо знакомое $$v^2-m(2s-m)=R\ \ (3)$$ при бесконечно малом $R=(\beta_n^2-m)^2.$
Дальше такая высшая математика пошла, что без стакана было не обойтись. Я-то почти не пью, а тут пришлось, и кажется впрок. Всех с Новым Годом! Наутро подумалось примерно так: выражение $\beta_n^4-2s\beta_n^2+v^2$ суть убывающая погрешность разложения $\sqrt{x}+\sqrt{y}$. Равенство $(3)$ позволяет избавиться от переменной $v$. Подставляя в первое $v^2=m(2s-m)+R$ и приравнивая его к нулю, получаем линейное уравнение относительно $s$, но $R$ следует брать не бесконечно малым, понятно, а реально отвечающим условию задачи. И вот оказалось, оно отлично работает: $$s_n=\lim_{n \to \infty}\dfrac{\beta_n^4-m^2+R}{2(\beta_n^2-m)}.$$ Рискнул поставить точное равенство, хотя не уверен что последовательность сходится именно к целой точке, но к очень близкой. Впрочем, пока проверял только случаи $R=1.$ Выражение верно для последовательности подходящих дробей $\beta_n=\dfrac{p_n}{q_n}$ разложения $\sqrt{x}+\sqrt{y}$, а зная $s=x+y,$ легко получаем искомые $x,y$ с помощью равенств $(3),(1).$ Так что обратная задача решена. Но! Этих "но" тут с лихвой, и главный вопрос оказался вовсе не пустяковым: сколько верных дробей содержит разложение $\sqrt{m},$ действительно ли их "станет хватать" при достаточно больших модулях и что делать, если это не так. Для $m=15403$ их всего $6$ (даже меньше чем для $m=913$), а нужно $12!$ Сильно против работает присутствие больших знаков дроби (в разложении $\sqrt{15403}\approx $ их два: $u_7=27,u_8=82$). Короче, нужен анализ статистики, тут вся моя надежда на сообщество. Заранее признателен! Есть и хорошие новости:

— Для положительного $R$ достаточно исследовать только нечетные дроби $(s<m)$, остальные случаи пока не разбирал, но всё к тому что четные понадобятся для $R<0$ (верхние приближения), а $R=0$ — пожалуйста и те и другие. Члены последовательности $s_{n=2k-1}$ ложатся на некоторую плавную кривую, которая в искомой целой точке $s$ почти вырождается в прямую параллельную оси $n$ (абсцисс). Если бы удалось экстраполировать ее по нескольким начальным значениям — это было бы отличное, действительно аналитическое решение.

И пока хватит. Мало ли, может не всем попалась такая хорошая водка ) "Зона совпадения знаков" всё-таки должна расти, но похоже, и необходимое количество знаков не стоит на месте. Самый трудный вопрос.

 Профиль  
                  
 
 Re: √m≈√x+√y
Сообщение03.01.2023, 11:59 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/11/12
1870
Санкт-Петербург
Andrey A в сообщении #1576043 писал(а):
Для положительного $R$ достаточно исследовать только нечетные дроби...
Имелось в виду нечетные дроби разложения $\sqrt{m}$, конечно. Вместо параметра $s$, кстати, можно вычислять по той же схеме параметр $v$, и вроде бы с меньшими затратами (если это не иллюзия). $$v_n=\lim_{n \to \infty}p_n\sqrt{\dfrac{m}{q_n^2}+\dfrac{R}{p_n^2-mq_n^2}}.$$ Дроби как и прежде нечетные, отрицательное значение под радикалом означает, что запас верных знаков иссяк. Хм... Или же я добиваюсь, чтобы они оказались в нужную сторону неверными? Вообще, похоже на то.
Возможно водка была слишком вкусной.

 Профиль  
                  
 
 Re: √m≈√x+√y
Сообщение03.01.2023, 22:21 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


07/03/06
1898
Москва
Andrey A

Я не понял ваш новогодний инсайт.))
Можно продемонстрировать на числах, например, $m=195,v=14, s=98, R=1$, подходящие дроби разложения $\sqrt{m}$:
$$\frac{13}{1}, \frac{14}{1}, \frac{377}{27}, \frac{391}{28}, \frac{10543}{755}$$

Кстати, если $n$ - период цепной дроби разложения $\sqrt{m}$, а $\frac{p_{n-1}}{q_{n-1}}$ - предпоследняя перед окончанием периода подходящая дробь, то $v^2=p_{n-1}^2\equiv 1\mod m$. Это иногда тоже дает не совсем нетривиальные результаты.
Например, для первого квазипростого $m=1711$ имеем:
$$\sqrt{1711}=41.36423575989287\approx\sqrt{2}+\sqrt{1596}=41.36418227324945, R=1$$
но это хуже чем:
$$\sqrt{1711}\approx\sqrt{181}+\sqrt{779}=41.36419552097944, R=5$$
Если же допустить рациональные приближения, то это:
$$\sqrt{1711}\approx\sqrt{\frac{1953}{4}}+\sqrt{\frac{1485}{4}}=41.36422866198204$$
будет уже лучше.

 Профиль  
                  
 
 Re: √m≈√x+√y
Сообщение04.01.2023, 01:57 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/11/12
1870
Санкт-Петербург
juna в сообщении #1576125 писал(а):
... новогодний инсайт.))
Да, такой выход из-за печки с расчетом на эффект ) Ничего, разберемся. Насчет $m=1711$ нет ли ошибки? Там 24 знака в периоде. Дробь, о которой Вы говорите всегда была $n$-ой: $p_n^2-mq_n^2=1.$ Пелль. Но он легко может дать тривиальный квадрат, ему это без разницы, а нам важно. Вообще говоря, двойка — решение вида $R=1$ для всех треугольных чисел. $t_{2n}=n(2n+1);\ \dfrac{2n+1}{n}=2,n;\ 2,n-1= \dfrac{2}{1},\dfrac{2n-1}{n-1} \rightarrow$ $\sqrt{2}+\sqrt{t_{2n-2}} \approx \sqrt{t_{2n}}.$ С $t_{2n+1}$ чуть по-другому, общий случай $\sqrt{2}+\sqrt{t_n} \approx \sqrt{t_{n+2}},$ но $v=t_n-2$ очень большое; если нет других делителей, имеем кандидата в квазипростые.
juna в сообщении #1576125 писал(а):
$m=195,v=14, s=98, R=1$
$\sqrt{195} \approx \sqrt{42}+\sqrt{56}$

$\sqrt{195}=13,(1,26)$

$\sqrt{42}+\sqrt{56}=13,1,26,1,4,1,1,2,1,4,4,1,3,...$

Как видим, совпадают $4$ знака, из них всего $2$ нечетных. Для нашей задачи этого мало, в том и проблема. Выпишу нечетные подходящие дроби последнего разложения.

$\sqrt{42}+\sqrt{56} \approx \dfrac{13}{1},\dfrac{377}{27},\dfrac{1941}{139},$ $\dfrac{4273}{306},\dfrac{15151}{1085},\dfrac{301079}{21561},\dfrac{1418762}{101601},...$ Подставляя числители и знаменатели в формулу $\approx p_n\sqrt{\dfrac{m}{q_n^2}+\dfrac{R}{p_n^2-mq_n^2}}$, где $m=195,R=1,$ получаем последовательность $$v_n=181,52;\ 180,42;\ 70,54;\ 28,94;\ 15,21;\ 14,01;\ 14,00;...$$ Из двух последних знаков уже видно целую точку $v$, к которой сходится последовательность, и которая была бы решением, если бы в нашем распоряжении имелось $L=7$ нечетных дробей разложения, но у нас их только $l=2.$ По большим модулям картина менее удручающая, конечно, но надежды мало. Хорошо бы иметь статистику. Спрашивайте, если что непонятно, я умею невнятно выражаться.

 Профиль  
                  
 
 Re: √m≈√x+√y
Сообщение04.01.2023, 08:55 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


07/03/06
1898
Москва
Andrey A в сообщении #1576136 писал(а):
Насчет $m=1711$ нет ли ошибки? Там 24 знака в периоде
.

Да нет, все верно. Вы же берёте для Пелля 23 знака периода, т.е. в общем случае $kn-1$ знаков. Просто я в нумерации подходящих дробей целую часть (41) не считал как номер (что, конечно, некорректно):
$$\sqrt{1711}=[41; \overline {2, 1, 2, 1, 13, 16, 2, 8, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 1, 8, 2, 16, 13, 1, 2, 1, 2, 82}]$$
$$[41; 2, 1, 2, 1, 13, 16, 2, 8, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 1, 8, 2, 16, 13, 1, 2, 1, 2]=\frac{12257063847449}{296320326540}=\frac{p_{23}}{q_{23}}$$
$$12257063847449\equiv 1594\mod 1711\Rightarrow 1594^2\equiv 1\mod 1711, (1711-1594)^2=117^2\equiv 1\mod 1711$$
Т.е. можно брать $v=1594, 117$
Andrey A в сообщении #1576136 писал(а):
Как видим, совпадают $4$ знака, из них всего $2$ нечетных.


Да, теперь понял, что Вы делаете. Т.е. подходящие дроби берутся для $\sqrt{x}+\sqrt{y}$, а в $\sqrt{m}$ уж как повезет...
Например,
$$\sqrt{181}+\sqrt{779}\approx [41; 2, 1, 2, 1, 14, 18, 1, 8, 8, 4, 1, 8, 7, 2, 2, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 14, 3, 3, 1, 1, 9, 1, 3, \ldots]$$
Берем 8-ю (при нумерации с нуля) подходящую дробь $\frac{1143265}{27639}=[41; 2, 1, 2, 1, 14, 18, 1, 8]$, получаем $v\approx 598.0084055087813$

$$\sqrt{1711}=[41; \overline {2, 1, 2, 1, 13, 16, 2, 8, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 1, 8, 2, 16, 13, 1, 2, 1, 2, 82}]$$
Т.е. не хватило 4 верных знака.

 Профиль  
                  
 
 Re: √m≈√x+√y
Сообщение04.01.2023, 10:31 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


07/03/06
1898
Москва
Andrey A в сообщении #1576043 писал(а):
Короче, нужен анализ статистики, тут вся моя надежда на сообщество.

А какая конкретно статистика нужна?
Могу, например, рассчитать количество членов цепной дроби для $\sqrt{x}+\sqrt{y}$, дающих лучшее приближение, которое достаточно для получения $v$ в сравнении с соответствующими членами для $\sqrt{m}$ для всех $m\leq m_0$.

 Профиль  
                  
 
 Re: √m≈√x+√y
Сообщение04.01.2023, 10:40 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/11/12
1870
Санкт-Петербург
juna в сообщении #1576155 писал(а):
Т.е. не хватило 4 верных знака.
У меня для обоих приближений получилось $L=6,l=3.$ С этим удвоенным знаком в радикале вечная путаница, можно ведь взять вместо $82$ так: $41,0,41,...$ и последнее $41$ принадлежит уже новому периоду, а сам период есть точный палиндром от $1$-го знака с нулем в конце или в начале (если подкоренное значение $<0$). Вопрос записи, но вот уже начинаем путаться. Принципиально важно "чистый" период, или "со вступлением". Последнее всегда осложняет дело, а тут и так хватает заморочек. $p$-ичная дробь, к примеру, приближается снизу, а тут с двух сторон. Сравнивая две непрерывные дроби по величине, нечетные знаки следует понимать в обычном смысле, а четные — в обратном (больше — меньше). У нас нечетные оказываются как раз между радикалом и нижним приближением, отсюда и предпочтение. Но о терминах лучше договориться. Бывают еще и нечетные периоды: $18^2-13 \cdot 5^2=-1.$
Насчет статистики — да, нужно понять как ведут себя $L/l$ с ростом модулей и возможно ли принципиально $L=l$. Подозреваю что нет.

 Профиль  
                  
 
 Re: √m≈√x+√y
Сообщение04.01.2023, 12:45 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/11/12
1870
Санкт-Петербург
Andrey A в сообщении #1576162 писал(а):
(если подкоренное значение $<0$)
Тут ошибка. Правильно "(если подкоренное значение $<1$)"

 Профиль  
                  
 
 Re: √m≈√x+√y
Сообщение05.01.2023, 13:41 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


07/03/06
1898
Москва
В файле выполнена сортировка по возрастанию отношения $\frac{L}{l}$, при необходимости можно пересортировать по $m$.
Исключал полные квадраты и случаи $R=0$. В пределах $m_0\leq 3000$ совпадений $L=l$, кроме тривиальных $m=5$, или $R=0$, нет.
Можно проводить классификацию чисел по отношению $\frac{L}{l}$, что собственно и сделано в файле, но чтобы это как-то помогло в решении задачи - не видно как. Даже в лучших случаях $l=L-1$, например, $m=501, L=8, l=7, x=56, y=222, R=1,v=166 $:
$$\sqrt{501}=[22; 2, 1, 1, 1, 1, 3, 8,\ldots]$$
$$\sqrt{56}+\sqrt{222}=[22; 2, 1, 1, 1, 1, 3, 952,\ldots]$$
разброс в первом несовпадающем знаке слишком велик, чтобы перебор имел смысл (8 против 952).
$l$ - определяет количество совпадающих знаков в разложениях $\sqrt{m}$ и $\sqrt{x}+\sqrt{y}$.
$L$ - определяет минимальное количество знаков в разложении $\sqrt{x}+\sqrt{y}$, чтобы выполнялось условие $|v-v_n|<1$


Вложения:
L_l.xlsx [78.72 Кб]
Скачиваний: 47
 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 180 ]  На страницу Пред.  1 ... 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group