Вычисление интеграла от гиперболического секанса

[ohart]

Есть интеграл $\int \frac{dx}{\ch x}$. Если его вычислять обычным способом $\int \frac{dx}{\ch x}=2\int \frac{e^x dx}{e^{2x}+1}=2\int \frac{d(e^x)}{(e^x)^2+1}=2\arctg(e^x)+C$, получается все правильно. Но если пробовать вычислить его через замену $t=\ch x$, то получается неверный ответ. Вычисление такое:
$dt=\sh x dx$, $dx=\frac{dt}{\sqrt{t^2-1}}$, $\int \frac{dx}{\ch x}=\int\frac{dt}{t\sqrt{t^2-1}}=\int\frac{dt}{t^2\sqrt{1-\frac{1}{t^2}}}$ и так далее. В конце получим неправильный результат.
Я видимо понимаю, где ошибка - при замене дифференциала я использую $\sh x = \sqrt{\ch^2 x - 1}$, что вообще говоря неверно, пропущен модуль. Вопрос в том, как в этом случае корректно проводить замену?

[mihaild]

А почему неверный? Какой результат получается в итоге вторым методом?

ohart в сообщении #1576362 писал(а):

при замене дифференциала я использую $\sh x = \sqrt{\ch^2 x - 1}$, что вообще говоря неверно, пропущен модуль

Тут модуль не обязателен, потому что $\ch x \geq 1$ при вещественном $x$.

[ohart]

mihaild в сообщении #1576363 писал(а):

А почему неверный? Какой результат получается в итоге вторым методом?

ohart в сообщении #1576362 писал(а):

при замене дифференциала я использую $\sh x = \sqrt{\ch^2 x - 1}$, что вообще говоря неверно, пропущен модуль

Тут модуль не обязателен, потому что $\ch x \geq 1$ при вещественном $x$.

Точно, что-то я не подумал об этом.

Дальше вычисление такое:
$z=\frac{1}{t}$, $dz=-\frac{dt}{t^2}$,
$\int\frac{dt}{t^2\sqrt{1-\frac{1}{t^2}}}=-\int\frac{dz}{\sqrt{1-z^2}}=-\arcsin z+C=-\arcsin\frac{1}{t}+C=-\arcsin\frac{1}{\ch x}+C$

[mihaild]

Давненько не брал я в руки шашек...
Вы всё правильно написали,

ohart в сообщении #1576362 писал(а):

$\sh x = \sqrt{\ch^2 x - 1}$, что вообще говоря неверно, пропущен модуль

Только модуль должен быть не под корнем, а над шинусом. Должно быть $|\sh x| = \sqrt{\ch^2 x - 1}$. Собственно делая замену $t = \ch x$ вы теряете знак, поэтому результат получается правильный при $x > 0$, и с обратным знаком при $x < 0$.

[ohart]

Ясно, спасибо. Как в таких случаях правильно делать замену - отдельно рассматривать два промежутка? Или есть какие-то более красивые пути?

[mihaild]

Да, разбивать на участки. Строго говоря, замена переменной должна иметь вид $x = \varphi(t)$. В данном случае замену можно представить в таком виде только отдельно слева и отдельно справа от нуля.

[ohart]

mihaild
Понятно. Спасибо еще раз!

[Утундрий]

Забавно, насколько разные у всех рефлексы. Я, например, первым делом домножил числитель и знаменатель на $\ch x$.