Несколько заданий по математическому анализу (основы)

[int13]

Более менее разобрался.
Чувствую что любой, самый тупой вопрос меня завалит.
Но я уже без сил.
Итак, последний вопрос:
Доказать по определению, что

$$ x_n = {{5^n } \over {n^2 + 1}} $$

бесконечно большая последовательность...

[Brukvalub]

Напишите определение бесконечно большой последовательности.

[int13]

Последовательность Xn называется БЕСКОНЕЧНО БОЛЬШОЙ, если для любого положительного числа А, можно указать номер N такой, что при n>=N все элементы Xn этой последовательности удовлетворяют неравенству |Xn|>A.

Добавлено спустя 3 минуты 40 секунд:

Есть две книжки, ОСНОВАЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА, В. А. Ильина, и Математический анализ в вопросах и задачах, В. Ф. Бутузова и ни в одной из них примеров доказательства ббп.

[Brukvalub]

Хорошо, значит для каждого А>0 достаточно указать, с какого номера выполняется неравенство

\[ \frac{{5^n }}{{n^2 + 1}} > A \]

. Докажите, что, начиная с некоторого номера n, верно неравенство

\[ \frac{{5^n }}{{n^2 + 1}} > \frac{{n^4 - 1}}{{n^2 + 1}} \]

, и тогда достаточно решить неравенство:

\[ n^2 - 1 > A \]

, указание его решений и проверит определение.

[int13]

$$ {{n^4 - 1} \over {n^2 + 1}} $$

А почему именно это неравенство?
И откуда берется

$$n^2 - 1$$

?
Если можно - как можно подробнее. Я уже почти ничего не соображаю.
Вопрос жизни и смерти. Если мне не удастся сдать эти два задания сегодня к вечеру - все две недели я мучался напрасно (

[Brukvalub]

int13 в сообщении #157628 писал(а):

А почему именно это неравенство?

Потому, что я так придумал, и при этом упрощенное неравенство удастся решить.

int13 в сообщении #157628 писал(а):

И откуда берется

$$n^2 - 1$$

?

А это - просто позорный вопрос.

[Хорхе]

Смысл в том, чтобы подобрать бесконечно большую последовательность, меньшую данной. Спрашивается, зачем? Обычно затем, что для этой другой обычно проще проверить, что она бесконечно большая. Вот, скажем, проверить, что $y_n = n/2$ --- бесконечно большая, довольно просто. Но мы можем написать, что $y_n=n^3/2n^2 \le n^3/(n^2+1)$. Если мы докажем, что $5^n > n^3$, то получим $x_n > y_n$, а поэтому $x_n$ --- бесконечно большая. То, что предлагает Brukvalub, -- из той же серии, только чуть сложнее неравенство. Как доказать $5^n > n^3$? Да как угодно, хоть по индукции.

[int13]

То есть следующим моим действием, должно быть:
Доказать методом индукции, что

$$5^n > n^4 - 1$$

?

[Brukvalub]

int13 в сообщении #157637 писал(а):

Доказать методом индукции, что

$$5^n > n^4 - 1$$

?

Да, или воспользоваться изящным решением Хорхе и тогда

Хорхе в сообщении #157633 писал(а):

доказать $5^n > n^3$

[int13]

Brukvalub писал(а):

воспользоваться изящным решением Хорхе

Я честно говоря, совсем не понял это решение.
Попробую, что понимаю:

$$5^n > n^4 - 1$$

При n=n+1 получаем:

$$ \eqalign{ & 5^{n + 1} > \left( {n + 1} \right)^4 - 1 \cr $$ $$ & 5^n > {{n^4 + 3n^3 + 3n^2 } \over 5} \cr} $$

Эээ..

Добавлено спустя 1 минуту 26 секунд:

Не. чето не то

Добавлено спустя 3 минуты 34 секунды:

Ниодного похожего нормально оформленного задания не нашел

Добавлено спустя 2 минуты 41 секунду:

Все. Время вышло. Разве что, пока еду в транспорте, чего соображу. Что маловероятно. Не поминайте лихом

[Brukvalub]

int13 в сообщении #157641 писал(а):

Попробую, что понимаю:

$$5^n > n^4 - 1$$

Докажем это неравенство по индукции.
1. база индукции: при n=1 имеем 5 > 0 - верно.
2. шаг индукции. Пусть уже доказано, что неравенство

$$5^n > n^4 - 1$$

- верно. Тогда \[ 5^{n + 1} = 5 \cdot 5^n > 5(n^4 - 1) > (n + 1)^4 - 1 \], поскольку

\[ 2n^4 - 2n^3 - 3n^2 - 2n - 2 > 0 \]

при n>1