Квантовая механика. Задача на операторы.

[Metro]

Пользуясь определением нелинейной функции от оператора, показать, что
$[\hat{x},F(\hat{p})] = i\hbar\frac{dF(\hat{p})}{d\hat{p}}$

Я решил рассмотреть вид оператора $\hat{x}$ в импульсном представлении, когда волновая функция зависит от проекций импульса: $\psi = \psi({p}_{x},{p}_{y},{p}_{z})$ , $\hat{x} = i\hbar\frac{d}{d{p}_{x}}$

Т.к. у нас $F(\hat{p})$ - функция зависящая от оператора импульса, то и сам оператор $\hat{x}$ я решил будет зависеть от оператора импульса и по аналогии с $\hat{x} = i\hbar\frac{d}{d{p}_{x}}$ получится, что $\hat{x} = i\hbar\frac{d}{d\hat{{p}_{x}}}$
Тогда, по аналогии с коммутатором 2-х операторов $[\hat{x},\hat{{p}_{x}}] = i\hbar$ (который получается из следующих соображений: $[\hat{x},\hat{{p}_{x}}]\psi= (\hat{x}\hat{{p}_{x}} - \hat{{p}_{x}}\hat{x})\psi = x(-i\hbar\frac{d}{dx})\psi - (-i\hbar\frac{d}{dx})x\psi = -i\hbar x(\psi)' + i\hbar\psi + i\hbar x(\psi)' = i\hbar\psi \to [\hat{x},\hat{{p}_{x}}] = i\hbar$)

Я могу получить: $[\hat{x},F(\hat{p})]\psi = (\hat{x}F(\hat{p}) - F(\hat{p})\hat{x})\psi = i\hbar\frac{dF(\hat{p})}{d\hat{{p}_{x}}}\psi + i\hbar\frac{d\psi}{d\hat{{p}_{x}}}F(\hat{p}) - F(\hat{p})i\hbar\frac{d\psi}{d\hat{{p}_{x}}} = $
$ = i\hbar\frac{dF(\hat{p})}{d\hat{{p}_{x}}}\psi \to [\hat{x},F(\hat{p})] = i\hbar\frac{dF(\hat{p})}{d\hat{{p}_{x}}} $

Правильно ли мое доказательство?
Верно ли полагать, что оператор $\hat{x}$ можно представить не через проекцию импульса, а через оператор импульса $\hat{x} = i\hbar\frac{d}{d\hat{{p}_{x}}}$?
И смущает еще то что, по итогу у меня получилось $ i\hbar\frac{dF(\hat{p})}{d\hat{{p}_{x}}} $, а не $i\hbar\frac{dF(\hat{p})}{d\hat{p}} $ или это не критично?
Или же мой ход доказательства неверный и доказывать надо отталкиваясь от чего-то другого?

[madschumacher]

Metro в сообщении #1576191 писал(а):

Правильно ли мое доказательство?

Да, всё правильно.

Metro в сообщении #1576191 писал(а):

Верно ли полагать, что оператор $\hat{x}$ можно представить не через проекцию импульса, а через оператор импульса

А в чём разница? У Вас связаны только операторы координаты и импульса вдоль одного направления. Какие-нибудь условные $\hat{x}$ и $\hat{p}_y$ коммутируют, поэтому про них можно забыть.

Metro в сообщении #1576191 писал(а):

И смущает еще то что, по итогу у меня получилось

Так у Вас всё правильно получилось. Если с ответом не сходится, то вероятно, там предполагали одномерный случай.

[warlock66613]

А можно пояснение для дураков, что это за производная по оператору такая?

[madschumacher]

warlock66613 в сообщении #1576250 писал(а):

А можно пояснение для дураков, что это за производная по оператору такая?

То же самое, что и в случае $[\hat{p},V(\hat{x})]=-i\hbar \frac{\partial V}{\partial \hat{x}}$. Простое обозначение для наших операторов наблюдательных -- это просто подрисовывание крышечек над координатами/импульсами/моментами импульсов/... (т.е. как $\hat{A} = A(\hat{p},\hat{x})$). И соответственно, можно ввести обозначение

$$ \frac{\partial A(\hat{q})}{\partial \hat{q}} = \left(\frac{\partial A({q})}{\partial {q}} \right)(\hat{q})$$

Опять же, можно через ряды Тейлора это сделать ещё более занудно, но (вроде более) правильно.

[warlock66613]

Спасибо, теперь понятно. Чисто алгебраическая штука. Интересно, можно ли придать этому больший смысл. Операторы живут в банаховом пространстве, значит это некое дифференцирование в банаховом пространстве...

[Утундрий]

warlock66613 в сообщении #1576282 писал(а):

Интересно, можно ли придать этому больший смысл.

Я не сумел. Может и к лучшему. Если слишком уж выискивать некий "глубокий смысл" в каждом редакторском сокращении, то можно и неиллюзорно повредиться.

[warlock66613]

Это да.