2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Число кратное N с нечетной суммой цифр
Сообщение03.01.2023, 12:38 


24/12/13
351
Докажите, что при любом натуральном $N$ можно найти число с нечётной суммой цифр, кратное $N$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Число кратное N с нечетной суммой цифр
Сообщение03.01.2023, 17:33 


21/04/22
330
Из верности утверждения задачи для $N$ следует верность утверждения для $10^m \cdot N$. Если $N$ начинается с цифры, меньшей чем 5, то верность утверждения задачи для $N$ следует из его верности для $uN$, где $u$ подобрано так, что $uN$ оканчивается на цифру, которая больше 4. Поэтому далее будем считать, что $N$ начинается с цифры, которая больше 4 и заканчивается ненулевой цифрой.

Заметим, что $s(a + b) \equiv s(a) + s(b) + f(a, b) \pmod{2}$, где $s(x)$ и $f(x, y)$ обозначают соответственно сумму цифр числа $x$ и количество переносов, возникающих при сложении в столбик чисел $x$ и $y$.

Подберём число $u$ так, что $uN$ заканчивается на цифру, которая больше 4, а предпоследняя цифра отлична от 9. Если $N$ или $uN$ имеет нечётную сумму цифр, то всё доказано. В противном случае подберём число $k$ так, что при сложении в столбик чисел $10^k \cdot uN$ и $N$ последняя цифра из $uN$ оказалась прямо под первой цифрой числа $N$ (то есть, $k$ равно количеству цифр числа $N$, уменьшенному на 1). Тогда при сложении возникнет ровно один перенос разряда и число $(10^k \cdot u + 1) N$ будет иметь нечётную сумму цифр.

 Профиль  
                  
 
 Re: Число кратное N с нечетной суммой цифр
Сообщение03.01.2023, 22:07 


26/08/11
2057
Будем считать $N$ - взаимнопростое с $10$ - иначе добавлением нужное число нулей в конце. А значин нечетное. Тогда

$1+10^{\varphi(N)}+10^{2\varphi(N)}+\cdots 10^{(N-1)\varphi(N)} \equiv N \equiv 0 \pmod N$

Нечетное число единиц.

 Профиль  
                  
 
 Re: Число кратное N с нечетной суммой цифр
Сообщение04.01.2023, 10:15 


24/12/13
351
Вот, другое решение этой задачи

topic152133.html

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 4 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group