Почему функция распределения Коши принимает именно такой вид

[Verbery]

Приветствую всех! На Википедии написано, что распределение Коши имеет такую функцию распределения: $\frac{1}{\pi} \arctg x$ (я опустил коэффициент сдвига и масштаба). Может ли кто-то пояснить почему именно такой вид? Функция распределения - это у нас вероятность того, что случайная величина примет значение меньшее $x$, тогда непонятно, где именно в этой формуле выражено то, что значение меньше, чем $x$? Или откуда вообще взялась эта формула?

[Евгений Машеров]

Из интегрирования плотности распределения Коши, вестимо...

[Verbery]

Евгений Машеров
А откуда взялась такая формула для плотности распределения: f_X(x) = \frac{1}{\pi(1 + x^2)}. $\pi$ в знаменателе - это, видимо, диапазон всех возможных значений, а в числителе $\frac{1}{(1 + x^2)}$ - это так выражен угол? Возможно, это совсем очевидно, но не могу уловить как тут выражен угол

[alisa-lebovski]

Предположим, по оси $Ox$ расположена стена, а в точке $(1,0)$ стоит человек и стреляет в стену под случайным, равномерно распределенным углом от $-\pi/2$ до $+\pi/2$. Тогда координата точки попадания имеет распределение Коши.

[Verbery]

alisa-lebovski
И всё-таки откуда в формуле распределения Коши в числителе $\frac{1}{(1 + x^2)}$? :) Это так угол выражен?

[alisa-lebovski]

Вы нарисуйте, и станет понятно, где угол, где что. Если хотите содержательный смысл $1/(1+x^2)$, это величина, обратная длине полета пули $1+x^2$. Куда дальше пуле лететь, туда реже она будет попадать (по крайней мере, так в данной модели).

[Евгений Машеров]

Не ищите тут пятый угол. Это просто аргумент функции. Хотя придумать модель, в которой параметр распределения будет именно углом, можно, и такой пример уважаемой alisa-lebovski уже приведен, но он совершенно не обязан быть именно углом. Скажем, в физике такая функция описывает ширину спектральных линий.
Появилось распределение Коши, как контрпример к использованию среднего для характеристики статистической выборки - если случайная величина имеет распределение Коши, то она не имеет среднего, дисперсии и моментов большего порядка. Кстати, предложил её не Коши, а Пуассон (эффект Арнольда, однако...). Впрочем, Коши тут не совсем ни при чём, он использовал её во время спора с Бьенемэ, который разрабатывал метод наименьших квадратов. Само выражение для плотности рассматривалось ещё Ферма, а затем Аньези (верзьера, то есть ведьма Аньези), но не в связи с теорией вероятностей.

[Verbery]

Спасибо за хорошие пояснения! Я что-то зациклился на угле, думал, что в формуле всё должно быть завязано на нём

[Евгений Машеров]

А $\pi$ тут просто нормировочная константа. Чтобы выполнялось требование к функции распределения - при стремлении аргумента к бесконечности стремиться к единице...

[Verbery]

Евгений Машеров
Ого, я как раз хотел спросить откуда там взялось $\pi$, захожу сюда, а Вы уже ответили на мой вопрос!