Теорема Кантора-Бернштейна 2

[Mikhail_K]

Vladimir Pliassov
У множества (если на нём не задан порядок) просто не определено, что такое "первый элемент", "второй элемент". Определено лишь одно: какие элементы множеству принадлежат, а какие нет. Поэтому множества (сами по себе, без дополнительной структуры на них) - это неупорядоченные наборы.

[Vladimir Pliassov]

Значит, и в $\{\{x\}, \{x, y\}\}$ порядок не имеет значения? Так что же в этом выражении упорядочивает пару $\langle x, y \rangle$?

[warlock66613]

Vladimir Pliassov в сообщении #1575597 писал(а):

Так что же в этом выражении упорядочивает пару $\langle x, y \rangle$?

А вы поменяйте $x$ и $y$ местами и сравните, получится ли у вас то же самое что было или нет (без учёта порядка!).

[Mikhail_K]

Vladimir Pliassov в сообщении #1575597 писал(а):

Значит, и в $\{\{x\}, \{x, y\}\}$ порядок не имеет значения?

Да, в том смысле что

$$ \{\{x\},\{x,y\}\}=\{\{x\},\{y,x\}\}=\{\{x,y\},\{x\}\}=\{\{y,x\},\{x\}\}. $$

Vladimir Pliassov в сообщении #1575597 писал(а):

Так что же в этом выражении упорядочивает пару $\langle x, y \rangle$?

А Вы распишите пару $\langle y, x \rangle$ и убедитесь, чем она отличается от $\langle x, y \rangle$.

[Vladimir Pliassov]

$$\{\{x\},\{x,y\}\}=\{\{x\},\{y,x\}\}=\{\{x,y\},\{x\}\}=\{\{y,x\},\{x\}\},$$

$$\{\{y\},\{y,x\}\}=\{\{y\},\{x,y\}\}=\{\{y,x\},\{y\}\}=\{\{x,y\},\{y\}\}.$$

Понятно! В первой строке $x$ одинокий, во второй строке $y$ одинокий. Спасибо!

Но надо еще договориться, какой элемент в $\{\{x\},\{x,y\}\}$ будет считаться первым -- $x$ или $y$.

[svv]

Vladimir Pliassov
Посмотрите тут, какие ещё изобретены способы построить двухэтажный дом из песка.

[Vladimir Pliassov]

1.

svv в сообщении #1575603 писал(а):

Посмотрите тут, какие ещё изобретены способы построить двухэтажный дом из песка.

Спасибо! Там сказано, что свойство "$x$ -- первый элемент пары" формулируется как $\forall Y\in p:x\in Y$, так что в выражении $p=\{\{x\},\{x,y\}\}$ первый элемент пары это $x$.

mihaild в сообщении #1575427 писал(а):

1. Возьмите два множества, $A = \{a, b\}$ и $B = \{c, d, e\}$. Считая, что все элементы $a, b, c, d, e$ различны, запишите, прямо по определению, какую-нибудь функцию $A \to B$ как множество, используя определение пары по Куратовскому.

Запишу две, инъективную: $f_1\colon A\to B\colon \{\{a\},\{a,c\}\}, \;\;\{\{b\},\{b,e\}\}$

и неинъективную: $f_2\colon A\to B\colon \{\{a\},\{a,c\}\}, \;\;\{\{b\},\{b,c\}\}$.

mihaild в сообщении #1575427 писал(а):

2. Запишите, опять же по определению, какую-нибудь функцию $\varnothing \to \{a, b\}$.

Запишу две (их всего две): $g_1\colon \varnothing \to \{a, b\}\colon \{\{\},\{a\}\}$, $g_2\colon \varnothing \to \{a, b\}\colon \{\{\},\{b\}\}$. Не знаю, правильно ли записал.

mihaild в сообщении #1575559 писал(а):

Детская задача писал(а):

У меня две монеты на общую сумму 15 копеек. Одна из них не пятак. Что это за монеты?

По 10 и по 5 копеек.

2.

Vladimir Pliassov в сообщении #1575526 писал(а):

Значит определение

Цитата:

Функция в математике — соответствие между элементами двух множеств — правило, по которому каждому элементу первого множества, называемого областью определения, соответствует один и только один элемент второго множества, называемого областью прибытия.

неполное, надо пользоваться определением "$f$ - подмножество $A \times B$, такое $\forall x \in A \exists! y \in B: \langle x, y\rangle \in f$" (которое помещено у Верещагина-Шеня).

mihaild в сообщении #1575529 писал(а):

Полное, просто неформальное. У нас действительно есть правило, по которому мы каждому элементу пустого множества что-то сопоставляем. Просто раз элементов нет, то и сопоставление пустое.

Здесь Вы признаете существование несуществующих объектов: несуществующим элементам пустого множества Вы что-то сопоставляете.

("Существование несуществующих объектов" -- это само в себе противоречивое выражение, но если мы имеем дело с несуществующими объектами: сопоставляем им что-то, -- значит, мы в каком-то смысле признаем, что они существуют.)

Если же не признавать существования несуществующих объектов, то, мне кажется, определение из Википедии все-таки неполное, по нему функция это соответствие между существующими элементами двух множеств, значит, если нет элементов, нет и соответствия (а не то, что соответствие есть, но оно пустое), то есть нет функции.

Если не признавать существование несуществующих объектов, то определение из Википедии неполное, потому что в нем ничего не говорится об отображении между множествами $A$ и $B$ в случае, когда одно из них пусто или они оба пусты.

А если признавать, то, как вы сами сказали,

mihaild в сообщении #1575053 писал(а):

Такая система должна очень сильно отличаться от всего используемого в математике,

так что вряд ли авторы определения из Википедии основывались на ней.

Определение из Верещагина-Шеня (https://www.mccme.ru/free-books/shen/sh ... art1-2.pdf стр. 32)

Цитата:

Отношение $F\subset A\times B$ называется функцией из $A$ в $B$, если оно не содержит пар с одинаковым первым членом и разными вторыми.

хитрее, под него попадает и пустое множество: оно не содержит ни одной пары и, значит, не содержит пар с одинаковым первым членом и разными вторыми.

Для справки:

Цитата:

Любое подмножество $R$ множества $A\times B$ называется отношением между множествами $A$ и $B$

(в том числе и пустое подмножество).

[mihaild]

Vladimir Pliassov в сообщении #1575675 писал(а):

: $f_1\colon A\to B\colon \{\{a\},\{a,c\}\}, \;\;\{\{b\},\{b,e\}\}$

Не совсем правильно. $\{\{a\},\{a,c\}\}, \;\;\{\{b\},\{b,e\}\}$ это не множество, это два множества через запятую. А функция - это множество. Как поправить?

Vladimir Pliassov в сообщении #1575675 писал(а):

несуществующим элементам пустого множества Вы что-то сопоставляете

Нет. Покажите хоть один элемент пустого множества, которому я хоть что-то сопоставил.
Аналогично: все крокодилы в этой комнате красные. Если не согласны, то покажите хоть одного не красного крокодила.

Тут получаются фразы, которые звучат немного непривычно для обычного языка, но если подумать, то становится понятно, что интерпретируются они однозначно. Каждому элементу пустого множества что-то сопоставлено - означает, что нет ни одного элемента, которому не сопоставлено. И это действительно так.

Главное отличие определения из Верещагина-Шеня - формальность, вместо неформального "правила" функция считается обычным математическим объектом - множеством.Чуть дальше будут сложные вопросы о том, какие функции существуют, и для их исследования просто неформального понятия окажется функции недостаточно.

[Vladimir Pliassov]

mihaild в сообщении #1575682 писал(а):

Не совсем правильно. $\{\{a\},\{a,c\}\}, \;\;\{\{b\},\{b,e\}\}$ это не множество, это два множества через запятую. А функция - это множество. Как поправить?

$\big \{\{\{a\},\{a,c\}\}, \;\;\{\{b\},\{b,e\}\}\big \}.$

А это: $g_1\colon \varnothing \to \{a, b\}\colon \{\{\},\{a\}\}$, $g_2\colon \varnothing \to \{a, b\}\colon \{\{\},\{b\}\}$ правильно?

[mihaild]

Vladimir Pliassov в сообщении #1575686 писал(а):

$g_1\colon \varnothing \to \{a, b\}\colon \{\{\},\{a\}\}$,

Функция - это множество пар.
Является ли пустое множество ($\{\}$ - это просто другой способ записи $\varnothing$) парой?

[Vladimir Pliassov]

Пара (во всяком случае, по Куратовскому) не является пустым множеством. Значит, и пустое множество не является парой (во всяком случае, по Куратовскому).

Делаю предположение, что в теории множеств пара не является пустым множеством. Тогда

Функция - это множество пар, пара не является пустым множеством, значит, функция не является множеством пустых множеств.

Но $\{\{\},\{a\}\}$ -- не пустое множество.

[mihaild]

Vladimir Pliassov в сообщении #1575733 писал(а):

Делаю предположение, что в теории множеств пара не является пустым множеством

Это не предположение, это следствие определения. Тут надо быть смелее, на большинство подобных вопросов есть совершенно однозначный ответ.
Доказывается просто: пусть $\varnothing = \langle x, y\rangle$. Но по определению, $\{x\} \in \langle x, y\rangle$. Значит $\{x\} \in \varnothing$ - противоречит определению $\varnothing$. Следовательно, $\varnothing$ не является парой.

Vladimir Pliassov в сообщении #1575733 писал(а):

Но $\{\{\},\{a\}\}$ -- не пустое множество

Но вы же говорите, что это множество является функцией, а не её элементом. А элементы функции - это пары. При этом $\{\}$ - это элемент вашего множества, но не пара. Значит, ваше множество - не функция.
Но кстати парой множество $\{\varnothing, \{a\}\}$ тоже не является. Докажите, что при любых $x, y$ выполнено $\varnothing \notin \langle x, y\rangle$.

[Vladimir Pliassov]

mihaild в сообщении #1575735 писал(а):

Но кстати парой множество $\{\varnothing, \{a\}\}$ тоже не является.

Определение любой пары (необязательно упорядоченной) в теории множеств:

Цитата:

Непустое множество $A$ называется множеством из двух элементов, или парой: $A=\{a,\;b\}$, если после вычитания из него множества, состоящего только из одного элемента $a\in A$, останется множество, которое состоит также из одного элемента $b\in A$. (Википедия)

$\{\varnothing, \{a\}\}\setminus \{\{a\}\}=\{\varnothing\}$. $\{\varnothing\}$ состоит только из одного элемента, значит, $\{\varnothing, \{a\}\}$ -- пара.

Может быть, в этом определении что-то не так?

[mihaild]

Vladimir Pliassov в сообщении #1575740 писал(а):

Может быть, в этом определении что-то не так?

В этом определении всё так, я выше везде под парой понимал упорядоченную пару по Куратовскому. В частности, функция - это множество именно упорядоченных пар по Куратовскому.
Просто пара обычно не является упорядоченной парой по Куратовскому, но если и является - то парой других элементов, $\{a, b\} \neq \langle a, b\rangle$.

[Vladimir Pliassov]

Если бы $\{\varnothing, \{a\}\}=\{\{\}, \{\;\;, a\}\}$ было парой, то должно было бы быть так: $g_1\colon \varnothing \to \{a, b\}\colon \Big \{\big \{\{\},\{a\}\big \}\Big \}$,

но множество $\{\varnothing, \{a\}\}=\{\{\}, \{\;\;, a\}\}$ не является парой, потому что в нем нет первого элемента пары.

mihaild в сообщении #1575735 писал(а):

Докажите, что при любых $x, y$ выполнено $\varnothing \notin \langle x, y\rangle$.

Если надо доказать, что $\varnothing$ не входит в пару в качестве элемента пары, значит, надо доказать, что не может быть, чтобы было $x=\varnothing$ или $y=\varnothing$. Но разве $\varnothing$ не может быть элементом пары?

Пусть $x=\varnothing$, тогда $\{\{\varnothing\},\{\varnothing,y\}\}$ -- это пара по Куратовскому.

Может быть, я не так понял задание?