Просто о сложном - о генерации пифагоровых троек

[Andrey A]

juna в сообщении #1575440 писал(а):

непрофильный и видимо нерецензируемый журнал взялся...

Да, там ссылка на УРАЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ и на работу Яковлевой ссылка была на первой странице, но доступ к полному тексту как бы требовал регистрации. Я не стал экспериментировать, а сегодня уже и ссылка не находится. Переехал паровоз.

ivanovbp
Читайте на выбор:
Гельфонд
Серпинский
ОСТРИК В.В., ЦФАСМАН М.А.

[Ende]

ivanovbp в сообщении #1575453 писал(а):

Мне вот интересно: каким образом появилась эта красивая вязь из арабских цифирек? Раскройте секрет!
Сэкономили бы время и усилия, обратившись в самое начало темы, в раздел, посвящённый операциям с "с" - наибольшим изПТ

ivanovbp
Если Вы не понимаете, что Вы наименее образованный участник темы и подобный тон неуместен, придется донести этот факт в доступной форме. Две недели на освоение азов теории чисел, а заодно и хороших манер.

[Ende]

Тема перемещена из форума «Дискуссионные темы (М)» в форум «Пургаторий (М)»
Причина переноса: сочетание развязности тона ТС с незнанием предмета.

[juna]

ivanovbp в сообщении #1575453 писал(а):

Моё ноу-хау работает на полную катушку

Осталось продемонстрировать, как ваша бобина сработает для $c=101\cdot 109=11009$

(%i14) float(sqrt(11009-1));
(%o14) 104.919016388832

(%i18) float((2+sqrt(4+8*(11009-1)))/4);
(%o18) 74.69063283191484

Ой, не извлекается, значит это число не k-го разряда, или вообще никакого?

Однако метод арабской вязи дает:

$$11009=(10^2+1^2)(10^2+3^2)=(10\cdot3-1\cdot 10)^2+(1\cdot 3+10\cdot 10)^2$$

Значит:

$$(2\cdot 20\cdot 103)^2+(103^2-20^2)^2=11009^2$$

[mihaild]

ivanovbp в сообщении #1575445 писал(а):

Сел. Прочитал. Вычитал следующее:
Всё множество ПТ делится на разряды, у каждого своя закономерность чередования троек

Это в каких же книгах вы такое вычитали?

ivanovbp в сообщении #1575445 писал(а):

Напоминаю, я приводил формулы только для первого разряда ПТ; для тех, у которых $2bn + n^2 = 4n^2$

Раз напоминаете, то можете дать ссылку, где про это было написано? (там же наверное и обозначения расшифрованы?)

ivanovbp в сообщении #1575445 писал(а):

Я всего лишь предложил простой способ генерации ПТ (без их лихорадочного поиска в Инете) для некоторого класса (или разряда) ПТ

Это, конечно, хорошо, но есть известный способ генерации всех (примитивных) троек:
$a = u^2 - v^2$, $b = 2uv$, $c = u^2 + v^2$ (здесь $a$ нечетное, $b$ четное, гарантий на то, что $a < b$, нет).
И например ваше

ivanovbp в сообщении #1575091 писал(а):

m = a /2 $b = m^2 - 1$ $c = b + 2$

получается подстановкой сюда $v = 1$.

-- 29.12.2022, 11:20 --

Andrey A, я нашел эту статью. Там всего две страницы, которые я внимательно прочитал только чтобы в самом конце увидеть

Цитата:

при $a \neq b$ в числителях имеем разность двух нечетных чисел, т.е. четные числа, в знаменателях всегда нечетные числа, а это означает, что частное от деления не может быть целым числом

Но признаюсь, не зря потратил время, таких рассуждений я даже у ChatGPT не видел.
По сути же там пытаются показать что из $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$ (где $a$ и $b$ вроде бы связаны с гипотезой Била, но я не очень понял, как) для нечетных $a$ и $b$ следует $a = b$.

[juna]

Цитата:

Я не стал экспериментировать, а сегодня уже и ссылка не находится. Переехал паровоз.

На elibrary она скачивается после авторизации.

[mihaild]

juna, а, тут немного другое окончание доказательство. Всё еще противоречие получается из формулы суммы кубов, но на этот раз (со ссылкой, между прочим, на Серпинского) утверждается, что не существует пифагоровых треугольников, у которых все стороны четные.
Бедные железнодорожники...

[juna]

mihaild в сообщении #1575478 писал(а):

juna, а, тут немного другое окончание доказательство.

Так и хочется сказать, не читал, но осуждаю. Надежды нет, но надо быть корректным, категоричные суждения оставим на после прочтения.

[Andrey A]

juna,mihaild
В Гугле оно до сих пор ищется по запросу "гипотеза Била", и даже не на первом месте, а аж в шапке! С Гуглом работают отлично, и кто станет их осуждать — для выживания в современной среде обитания такое умение несравненно важнее чем всякие там тройки )

[juna]

Andrey A в сообщении #1575489 писал(а):

В Гугле оно до сих пор ищется по запросу "гипотеза Била",

Прочитал этот бредогенератор.
Автор начинает:
1. Пусть $A^x+B^y=C^z$, в гипотезе Била утверждается, что при $x,y,z>2$ $gcd(A,B,C)\not=1$
Далее предполагает:
2. Пусть $A=at, B=bu, C=cv$, где $t,u,v\geq 1, a, b, c>1$.

$$C^z-A^x=B^y\Rightarrow (cv)^z-(at)^x=(bu)^y$$

3. После этого автор решил рассмотреть остатки от деления выражения $ (cv)^z-(at)^x$ на $(c^3-a^3)$, т.е.

$$ (cv)^z-(at)^x=q(c^3-a^3)+r=(bu)^y$$

4. После этого автор решил все усилия сосредоточить на школьном соотношении:

$$q(c^3-a^3)=(bu)^y-r=qp(c-a), p=(c^2+ac+a^2)$$

И наконец, мы освободились от уравнения Била напрочь:

$$(c^3-a^3)=(c-a)(c^2+ac+a^2)$$

5. Все остальные преобразования выполняются сугубо над выражением $(c^3-a^3)=(c-a)(c^2+ac+a^2)$ по принципу - если долго мучиться, Пифагор получится:

$$(c^2+a^2)^2-(2ca)^2=(c^2-a^2)^2$$

Далее эпичные рассуждения о том, что $a=b=c$.

В общем, вполне похоже на чат-бота.

[Andrey A]

juna в сообщении #1575587 писал(а):

Далее эпичные рассуждения о том, что $a=b=c$.

Об этом еще в самом начале заявлено легко и непринужденно:

Цитата:

Представим числа $A,B,C$ в виде: $A=ta, B=ub, C=vc,$ где $a,b,c$ — простые делители.
Следовательно, $A^x=t^xa^x, B^y=u^yb^y, C^z=v^zc^z$, тогда исходное уравнение можно записать как $t^xa^x+u^yb^y=v^zc^z \ (1)$
Если гипотеза верна, то уравнение $(1)$ относительно переменных $a,b,c$ будет иметь только одно натуральное решение: $a=b=c.$

Удивительно. А почему простые? Но об этом смешно и спрашивать, сказано же — представим!

[Andrey A]

Upd
Ладно. Но представим теперь, что единственным решением уравнения $(1)$ оказалась тройка $a=b=c=1,$ и вот опять гипотеза не верна ;)

[mihaild]

Мне всё же доказательство, что запись $a^3 + b^3$ автоматически дает $a = b$ нравится гораздо больше, чем то, что из этого выводится гипотеза Била.

[Andrey A]

Не, мы можем потешаться каждый на свой вкус, но и Яндекс кишит подобными "доказательствами", а чтобы Гугл удалось так гладко приколоть, даже не знаю... похоже, они тупеют вместе с нами. У Воннегута в "Галапагосах" умение "слишком хорошо думать", трактуется как особая болезнь мозга, работающего на саморазрушение. После у него всех поел мировой финансовый кризис, а я думаю — может пронесет? Разучатся человеки обращаться с механизмами и займутся сельским хозяйством, а гаджеты у всех будут от рождения (заботами Илона Маска). Топоры и вилы, впрочем, никто не отменял.

[juna]

Просто поисковые системы ориентированы на массовость употребления, ссылочность, которая в любом сообществе усредненная разумность. Среднее может уменьшаться, но дифференцированность, специализация увеличиваться. На https://arxiv.org/ наверняка есть более содержательные статьи по гипотезе Била.