Просто о сложном - о генерации пифагоровых троек

[ivanovbp]

mihaild в сообщении #1575141 писал(а):

Продемонстрируйте, как по ним найти тройку $(20, 21, 29)$. А еще у вас прямо написано, что тройки $(8, 15, 17)$ не существует.

1. Виноват, тройка 8 - 15 - 17 существует и она полностью подчиняется приведённым формулам
2. Относительно 20 - 21 - 29. Это второе решение для "а" = 20. Первое (я назвал его классическим) 20 - 99 - 10 Есть и другие классические тройки со вторыми решениями (кажется, есть даже третьи). Нпр., 35 - 612 - 613 и 35 - 84 - 91
У меня такое предположение: эти вторые решения - лишь случайное совпадение с конкретной ПТ .
Представьте, есть $y = x^2$ и y = 9x
Если слева стоит 9, каким будет х? Разным, потому что относится к разным закономерностям. Точно так же может быть и со вторыми решениями; они - члены какого-то сообщества чисел; вопрос очень интересный. М.б., попробуете заняться им? Мне кажется, это продуктивнее, чем быть одним из кучи опровергателей

[Andrey A]

ivanovbp в сообщении #1575189 писал(а):

... чем быть одним из кучи опровергателей

Да поймите же, нет ничего проще Пифагоровой тройки в теории чисел, и всем известно что любое число $>2$ может в нее входить. Но вот Вы пишете

ivanovbp в сообщении #1575091 писал(а):

Вывод : b = 68 не может входить а какую-либо пифагорову тройку

Примеры типа $60^2+32^2=68^2;\ \ 285^2+68^2=293^2$ Вас не смущают, появляются "случайные совпадения" и т.д. Словом, демагогия. Не обижайтесь, но никто Вас не опровергает, просто пробуют вразумить, поскольку единственная сложность заключена в Вашем восприятии математических текстов. Это поправимо, садитесь за книги и читайте хорошо.

[mihaild]

ivanovbp в сообщении #1575189 писал(а):

Виноват, тройка 8 - 15 - 17 существует и она полностью подчиняется приведённым формулам

Каким образом, если у вас написано, что $b$ (второе по величине число) нечетным быть не может? Или тут передумали? (если передумали - это совершенно нормально, просто нужно об этом явно сказать, и проверить, что при отказе от этого предположения ничего не ломается)

ivanovbp в сообщении #1575189 писал(а):

Есть и другие классические тройки со вторыми решениями (кажется, есть даже третьи).

Сколько угодно бывает. Любое четное число $x$ входит в $2^{k - 1}$ различных примитивных троек, где $k$ - число различных простых делителей $x$.

ivanovbp в сообщении #1575189 писал(а):

эти вторые решения - лишь случайное совпадение с конкретной ПТ

Важный вопрос: а в чем тогда ваш заявленный результат?
Что вы умеете генерировать некоторые примитивные пифагоровы тройки? Ну да, умеете. Польза от этого для народного хозяйства не очень понятна, с учетом того, что еще древним грекам были известны формулы примерно той же сложности, генерирующие их все.

[ivanovbp]

Andrey A
mihaild
Вот два значения для с: 11401 и 8323
Найдите для них a и b. Только не надо в Инете искать таблицы, а сами, сами...

[mihaild]

ivanovbp, я не подписывался сдавать вам экзамен, и не собираюсь этого делать.
А вот вы, создав тему в этом разделе, подписались отвечать на задаваемые вам вопросы.

[Ende]

ivanovbp
В своем следующем сообщении на форуме ответьте, пожалуйста на следующие вопросы:

mihaild в сообщении #1575212 писал(а):

ivanovbp в сообщении #1575189 писал(а):

Виноват, тройка 8 - 15 - 17 существует и она полностью подчиняется приведённым формулам

Каким образом, если у вас написано, что $b$ (второе по величине число) нечетным быть не может? Или тут передумали? (если передумали - это совершенно нормально, просто нужно об этом явно сказать, и проверить, что при отказе от этого предположения ничего не ломается)

ivanovbp в сообщении #1575189 писал(а):

эти вторые решения - лишь случайное совпадение с конкретной ПТ

Важный вопрос: а в чем тогда ваш заявленный результат?
Что вы умеете генерировать некоторые примитивные пифагоровы тройки?.

[Andrey A]

ivanovbp в сообщении #1575244 писал(а):

Только не надо в Инете искать таблицы, а сами, сами...

У меня своя есть секретная таблица с Пифагоровыми тройками. Ключи куда-то задевал от сейфа, но всё равно Ваше дело проиграно...

[Утундрий]

(Оффтоп)

Как мог бы сказать Козьма, "И пифагоровы штаны кому-то сложны".

[juna]

Soul Friend в сообщении #1575182 писал(а):

Еще про Пифагоровы тройки:
post1381139

Интересно по вашей ссылке про дерево пифагоровых троек.
Можно выписать рекуррентные соотношения для матриц $A,B,C$. Если $a_n,b_n,c_n$ - пифагоровы тройки, то следующие три тройки можно получить так:

$$ \begin{cases} a_{n+1}=2(c_n-b_n)+a_n\\ b_{n+1}=2(c_n-a_n)-b_n\\ c_{n+1}=2(a_n-b_n)+3c_n \end{cases} $$

$$ \begin{cases} a_{n+1}=2(c_n+b_n)+a_n\\ b_{n+1}=2(c_n+a_n)+b_n\\ c_{n+1}=2(a_n+b_n)+3c_n \end{cases} $$

$$ \begin{cases} a_{n+1}=2(c_n+b_n)-a_n\\ b_{n+1}=2(c_n-a_n)+b_n\\ c_{n+1}=2(b_n-a_n)+3c_n \end{cases} $$

ivanovbp в сообщении #1575244 писал(а):

Вот два значения для с: 11401 и 8323

$$(2\cdot 99\cdot 40)^2+(99^2-40^2)^2=(99^2+40^2)^2=(2\cdot 75\cdot 76)^2+(76^2-75^2)^2=(75^2+76^2)^2=11401^2$$

Только кому интересно дырявое решето?

[Andrey A]

juna в сообщении #1575278 писал(а):

Только кому интересно дырявое решето?

Дырявое не интересно, есть еще два решения с $c=11401.$
ivanovbp, какие? И как тут работает Ваше ноу хау?

(ivanovbp)

Типа обошлось без факторизации. Это иллюзия. Тривиальная пара множителей (с единицей) ничем не хуже остальных, как и тривиальная пара квадратов $2n+1=(n+1)^2-n^2.$

[juna]

Andrey A в сообщении #1575281 писал(а):

есть еще два решения с $c=11401.$

Во взаимнопростых $p,q$ - это единственные решения:

$$c=11401=13\cdot 877=(3^2+2^2)\cdot (6^2+29^2)=3^2\cdot 29^2+3^2\cdot 6^2+2^2\cdot 29^2+2^2\cdot 6^2-2\cdot 3\cdot 29\cdot 2\cdot 6+2\cdot 3\cdot 29\cdot 2\cdot 6=$$

$$=(3\cdot 29-2\cdot 6)^2+(2\cdot 29+3\cdot 6)^2=(3\cdot 29+2\cdot 6)^2+(2\cdot 29-3\cdot 6)^2$$

Далее если только представить $877^2=x_1^2+y_1^2, 13^2=x_2^2+y_2^2$ и домножить на $13^2, 877^2$ соответственно.

[Andrey A]

Ну да, а чем они хуже? Пренебрежительное отношение к непримитивным решениям свойственно новичкам и БТФам. Гипотеза Била почему-то меньше будоражит умы. Кстати. Что-то не пойму, она доказана?

[juna]

Andrey A в сообщении #1575413 писал(а):

Что-то не пойму, она доказана?

Раз журнал называется "Успехи современной науки...", то, конечно, доказали, иначе бы его назвали неуспехи)))
Но объективно именно это название и подходит, если непрофильный и видимо нерецензируемый журнал взялся опубликовать такие громкие тезисы.

[ivanovbp]

Andrey A в сообщении #1575205 писал(а):

Это поправимо, садитесь за книги и читайте хорошо.

Сел. Прочитал. Вычитал следующее:
Всё множество ПТ делится на разряды, у каждого своя закономерность чередования троек. Есть разряд, для которого разность между двумя соседними a равна 4, для соседних b - 3, для c -5. Есть другой разряд с разницей для a - 8, для b - 15, для c - 17.
И если тройку из одного разряда перетащить в другой и сравнивать её с коренными жителями - конечно, расхождение обнаружится, пришелица будет явно выпадать из общего порядка

-- 29.12.2022, 09:01 --

Ende в сообщении #1575248 писал(а):

ivanovbp
В своем следующем сообщении на форуме ответьте, пожалуйста на следующие вопросы:

mihaild в сообщении #1575212 писал(а):

ivanovbp в сообщении #1575189 писал(а):

Виноват, тройка 8 - 15 - 17 существует и она полностью подчиняется приведённым формулам

Каким образом, если у вас написано, что $b$ (второе по величине число) нечетным быть не может? Или тут передумали? (если передумали - это совершенно нормально, просто нужно об этом явно сказать, и проверить, что при отказе от этого предположения ничего не ломается)

ivanovbp в сообщении #1575189 писал(а):

эти вторые решения - лишь случайное совпадение с конкретной ПТ

Важный вопрос: а в чем тогда ваш заявленный результат?
Что вы умеете генерировать некоторые примитивные пифагоровы тройки?.

1. Напоминаю, я приводил формулы только для первого разряда ПТ; для тех, у которых $2bn + n^2 = 4n^2$
ПТ 8 - 15 - 17 это тройка другого разряда, для которого $2bn + n^2 = 16n^2$
2. Относительно "...я умею генерировать...". Я всего лишь предложил простой способ генерации ПТ (без их лихорадочного поиска в Инете) для некоторого класса (или разряда) ПТ

[ivanovbp]

juna в сообщении #1575278 писал(а):

ivanovbp в сообщении #1575244 писал(а):

Вот два значения для с: 11401 и 8323

$$(2\cdot 99\cdot 40)^2+(99^2-40^2)^2=(99^2+40^2)^2=(2\cdot 75\cdot 76)^2+(76^2-75^2)^2=(75^2+76^2)^2=11401^2$$

Только кому интересно дырявое решето?

Мне вот интересно: каким образом появилась эта красивая вязь из арабских цифирек? Раскройте секрет!
Сэкономили бы время и усилия, обратившись в самое начало темы, в раздел, посвящённый операциям с "с" - наибольшим изПТ

-- 29.12.2022, 10:11 --

Andrey A в сообщении #1575281 писал(а):

ivanovbp, какие? И как тут работает Ваше ноу хау?

Моё ноу-хау работает на полную катушку - смотрите начало темы, раздел, посвящённый нахождению с