Теорема Кантора-Бернштейна 2

[mihaild]

Vladimir Pliassov в сообщении #1575399 писал(а):

Мне никак не удается объяснить то, что мне кажется очень простым: что и при $f(t)=t^2 \;\; t\in \mathbb Z$, и при $f(t)=t^2 \;\; t\in \mathbb Q$ аргумент возводится в квадрат, то есть это происходит независимо от того, на каком домене.

Это просто артефакт того, что две разных функции, $\cdot^2_\mathbb Z$ и $\cdot^2_\mathbb Q$ обозначаются одинаково. Это допустимо для случаев, когда не создает путаницы, но никакой дополнительной информации отсылка к квадрату для случая, когда у нас на домене нет выделенного умножения, не дает. Никакого "универсального возведения в квадрат" в теории множеств нет.
Вам в любом случае нужно будет сказать, чему равно $f(\text{жёлтые ботинки})$, и определение, что оно равно $\text{жёлтые ботинки}^2$, не очень полезно - всё равно нужно определить, что это.
Т.е. ваш "принцип функции" - это, видимо, просто некоторое семейство функций.

Вообще, вы кажется тратите много времени на в общем-то неважный момент. Вы формальное определение функций (параграф 1.7) разобрали? Если нет, то советую изучить его, скорее всего, многое станет понятнее.

[Vladimir Pliassov]

mihaild в сообщении #1575400 писал(а):

никакой дополнительной информации отсылка к квадрату для случая, когда у нас на домене нет выделенного умножения, не дает. Никакого "универсального возведения в квадрат" в теории множеств нет.

Я и не говорю, что любой объект можно возвести в квадрат. Я имел в виду случаи, когда это возможно.

mihaild в сообщении #1575400 писал(а):

Вам в любом случае нужно будет сказать, чему равно $f(\text{жёлтые ботинки})$, и определение, что оно равно $\text{жёлтые ботинки}^2$, не очень полезно - всё равно нужно определить, что это.

Я и написал:

Vladimir Pliassov в сообщении #1575254 писал(а):

$f(a)=a^2$ (при этом, разумеется, для объекта, который подставляется вместо $a$ должно быть определено, как именно он возводится в квадрат)

добавлю: в случаях, когда возведение в квадрат возможно.

Еще раз прошел параграф 1.7, более внимательно (правда, задачи не решал), и нашел интересное место:

Цитата:

В обратную сторону: если какое-то подмножество $A_0$ множества $A$ равномощно множеству $B$ и имеется биекция $g : A_0 \to B$, то наложение $A$ на $B$ можно получить, доопределив эту биекцию на элементах вне $A_0$ каким угодно образом.

64. Найдите ошибку в этом рассуждении, не читая дальше.

На самом деле такое продолжение возможно, только если $B$ непусто, так что правильное утверждение звучит так: наложение $A$ на $B$ существует только и только тогда, когда $B$ непусто и равномощно некоторому подмножеству $A$, или когда оба множества пусты.

https://www.mccme.ru/free-books/shen/sh ... art1-2.pdf стр. 35

Но если $B$ пусто, разве можно говорить о каком бы то ни было отображении? Ведь отображаются элементы в элементы, а если их нет, то что и во что может отображаться?

[mihaild]

Vladimir Pliassov в сообщении #1575409 писал(а):

Я и не говорю, что любой объект можно возвести в квадрат. Я имел в виду случаи, когда это возможно.

Это возможно ровно в случаях, про которые мы договоримся. И договориться придется. А если договариваться, то никакой разницы между возведением в квадрат числа $2$ и некоего множества "жёлтые ботинки" нет.

Vladimir Pliassov в сообщении #1575409 писал(а):

Но если $B$ пусто, разве можно говорить о каком бы то ни было отображении?

Ну вот и говорится, что если $B$ пусто, а $A$ непусто, то отображения нет.

[Vladimir Pliassov]

Но ведь говорится, что "наложение $A$ на $B$ существует ... когда оба множества пусты." Значит, существует отображение, когда $A$ пусто? И когда и $A$, и $B$ пусто? Что отображается? И во что? Пустота в пустоту? Пустота в непустоту (при $A$ пусто, $B$ непусто)?

[mihaild]

Vladimir Pliassov в сообщении #1575421 писал(а):

Значит, существует отображение, когда $A$ пусто? И когда и $A$, и $B$ пусто?

Да, существует.
Упражнения (ИМХО вы должны справиться):
1. Возьмите два множества, $A = \{a, b\}$ и $B = \{c, d, e\}$. Считая, что все элементы $a, b, c, d, e$ различны, запишите, прямо по определению, какую-нибудь функцию $A \to B$ как множество, используя определение пары по Куратовскому.
2. Запишите, опять же по определению, какую-нибудь функцию $\varnothing \to \{a, b\}$.

[Vladimir Pliassov]

Над Вашим заданием по Куратовскому думаю, но пока одна мысль.

Существует ли отображение между множествами $A$ и $B$ при $A=\varnothing$ или $B=\varnothing$? Ответ неоднозначный, потому что отображение между $A$ и $B$ может быть двух типов: $\to$ и $\mapsto$.

Если $A=\varnothing$ и при этом $A$ является элементом некоторого множества $G$, а $B$ элементом некоторого множества $H$, то можно задать отображение $G\to H$, при котором $A$ будет отображаться в $B$: $ A\mapsto B$, то есть $\varnothing \mapsto B$.

Но отображение $A\mapsto B$ и отображение $A\to B$ это не одно и то же. Может быть задано отображение $A\mapsto B$ и при этом не задано отображение $A\to B$.

Как я понимаю, при отображении $A\to B$ элементы из $A$ отображаются в элементы из $B$, поэтому если $A$ или $B$ не имеют элементов, отображение между ними невозможно (ни $A\to B$, ни $B\to A$), это подтверждается следующей цитатой из Википедии:

Цитата:

Функция в математике — соответствие между элементами двух множеств — правило, по которому каждому элементу первого множества, называемого областью определения, соответствует один и только один элемент второго множества, называемого областью прибытия.

То есть невозможно отображение $\varnothing \to B$ (хотя возможно отображение $\varnothing \mapsto B$).

Таким образом, при $A=\varnothing$ или $B=\varnothing$ может существовать отображение $A\mapsto B$ и не может существовать отображение $A\to B$.

Может быть, в

mihaild в сообщении #1575427 писал(а):

2. Запишите, опять же по определению, какую-нибудь функцию $\varnothing \to \{a, b\}$.

Вы имеете в виду не $\varnothing \to \{a, b\}$, а $\varnothing \mapsto \{a, b\}$?

[mihaild]

Vladimir Pliassov в сообщении #1575490 писал(а):

Ответ неоднозначный, потому что отображение между $A$ и $B$ может быть двух типов: $\to$ и $\mapsto$

А где вы взяли $\mapsto$, и что оно значит?
Запись $f: A \to B$ - это просто короткий способ записать "$f$ - функция из $A$ в $B$". Что, в свою очередь, просто способ записать "$f$ - подмножество $A \times B$, такое $\forall x \in A \exists! y \in B: \langle x, y\rangle \in f$". Этого определения достаточно, чтобы сказать, существует ли функция из непустого множества в пустое, из пустого в непустое, и из пустого в пустое.

[Vladimir Pliassov]

$f$ - подмножество $A \times B$, каждый элемент множества $A \times B$ -- пара. Пусть $A=\varnothing$ и $(B=\varnothing)\vee (B\ne \varnothing)$, тогда ни одна пара не составляется, то есть $A \times B=\varnothing$ и $f=\varnothing$, значит функция $f: A \to B$ не существует?

[mihaild]

Vladimir Pliassov в сообщении #1575511 писал(а):

то есть $f=\varnothing$

Правильно.

Vladimir Pliassov в сообщении #1575511 писал(а):

значит функция $f: A \to B$ не существует

А вот откуда это "значит"?

[Vladimir Pliassov]

$f=\varnothing$, пустое множество существует, значит, $f: A \to B$ существует, но при этом ни один элемент из $A$ не отображается ни в один элемент из $B$. Как интересно!

Значит определение

Цитата:

Функция в математике — соответствие между элементами двух множеств — правило, по которому каждому элементу первого множества, называемого областью определения, соответствует один и только один элемент второго множества, называемого областью прибытия.

неполное, надо пользоваться определением "$f$ - подмножество $A \times B$, такое $\forall x \in A \exists! y \in B: \langle x, y\rangle \in f$" (которое помещено у Верещагина-Шеня).

[mihaild]

Полное, просто неформальное. У нас действительно есть правило, по которому мы каждому элементу пустого множества что-то сопоставляем. Просто раз элементов нет, то и сопоставление пустое.

[Vladimir Pliassov]

Цитата:

Теорема 9 (Упорядоченная пара по Куратовскому). Определим $\langle x, y \rangle$ как $\{\{x\}, \{x, y\}\}$. Тогда выполнено указанное выше свойство:

$$\langle x_1, y_1 \rangle=\langle x_2, y_2 \rangle \Leftrightarrow x_1 = x_2\;\; \text {и}\;\; y_1 = y_2.$$

Почему не определить $\langle x, y \rangle$ просто как $\{x, y\}$? По-моему, указанное свойство выполняется и в этом случае.

[mihaild]

Vladimir Pliassov в сообщении #1575554 писал(а):

По-моему, указанное свойство выполняется и в этом случае.

Попробуйте еще подумать. Допустим $x \neq y$. Может ли быть такое, что $u \neq x$, но $\{x, y\} = \{u, v\}$?

Детская задача писал(а):

У меня две монеты на общую сумму 15 копеек. Одна из них не пятак. Что это за монеты?

[Vladimir Pliassov]

Порядок в $\{x, y\}$ и в $\{u, v\}$ может меняться? Если может, то при $u=y$ и $v=x$ будет $\{x, y\}=\{v, u\}$, но все равно $\{x, y\} \ne \{u, v\}$.

1. Но разве порядок может меняться? Это же упорядоченные пары.

2. По-моему, если первые (левые) или вторые (правые) элементы упорядоченных пар не равны, то пары не равны. А если первые и вторые элементы равны, то пары равны.

[warlock66613]

Vladimir Pliassov в сообщении #1575591 писал(а):

Это же упорядоченные пары.

Где это вы видели, чтобы упорядоченные пары обозначались фигурными скобками, особенно в контексте теории множеств? Фигурные скобки с перечнем элементов в них — это обозначение множества, состоящего из перечисленных и только из перечисленных элементов.